ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
25. Каноническая система координат 221
Каноническая фо рма этого уравнения
(x
′′
)
2
4
−
(y
′′
)
2
9
= 1 (25.29)
уже получена в примере 24.2 простым вычислением инвариантов. Ч тобы по-
строить эту кривую в заданной системе координат, найд¨ем начало ка но ниче-
ской системы координат — точку O
′
(x
0
, y
0
). Для этого следует решить систему
(25.3), которая в данном случае имеет вид
5x + 6y −11 = 0,
6x − 6 = 0.
(25.30)
Решение этой системы дает x
0
= 1, y
0
= 1. Угол поворота , приводящий к кано-
нической системе координат x
′′
O
′
y
′′
, задается соотношением (23.27):
tg ϕ =
λ
1
− a
11
a
12
=
9 − 5
6
=
2
3
, ϕ = arctg
2
3
≈ 33,6
◦
. (25.31)
Вычислив
cos ϕ =
1
p
1 + tg
2
ϕ
=
1
p
1 + 4/9
=
3
√
13
,
sin ϕ =
p
1 − cos
2
ϕ =
r
1 −
9
13
=
2
√
13
,
(25.32)
можем записать преобразование коо рдинат (25.10), приводящее к канонической
форме (25.29), в виде
x
y
=
1
√
13
3 −2
2 3
x
′′
y
′′
+
1
1
. (25.33)
Это о значает, что каноническая система координат имеет своим нача ло м точку
O
′
(1, 1), а е¨е координатные оси пов¨ернуты на угол ϕ = arctg(2/3) против часовой
стрелки (см. рис. 142,a).
Решим эту же задачу без использования инвариантов. Для этого от ортонор-
мированного базиса ~e
1
, ~e
2
в системе координат xOy перейд¨ем в новую систему
ко ординат x
′
Oy
′
с новым ортонормированным базисом ~e
′
1
, ~e
′
2
. Согласно теоре-
ме 24 .1 , чтобы их найти, следует решить задачу на собственные значения и
собственные векторы (24.14) матрицы G:
GE
′
= λE
′
,
Рис. 142.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- …
- следующая ›
- последняя »
