ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
25. Каноническая система координат 223
Ста рые и новые координаты, согласно (24.9), связаны соотношениями
x
y
= x
′
E
′
1
+ y
′
E
′
2
= x
′
1
√
13
3
2
+ y
′
1
√
13
−2
3
=
1
√
13
3 −2
2 3
x
′
y
′
(25.38)
или
x =
1
√
13
(3x
′
− 2y
′
),
y =
1
√
13
(2x
′
+ 3y
′
).
(25.39)
Подставив (25.22) в исходное уравнение, запишем
5
13
(3x
′
−2y
′
)
2
+
12
13
(3x
′
−2y
′
)(2x
′
+ 3y
′
) −
22
√
13
(3x
′
−2y
′
) −
12
√
13
(2x
′
+ 3y
′
) −19 = 0,
или
9(x
′
)
2
− 4(y
′
)
2
−
90
√
13
x
′
+
8
√
13
y
′
−19 = 0.
Выделив полный квадрат в этом уравнении, получим
9
x
′
−
5
√
13
2
−4
y
′
−
1
√
13
2
− 36 = 0.
С помощью па раллельного переноса
x
′′
= x
′
−x
′
0
= x
′
−
5
√
13
,
y
′′
= y
′
− y
′
0
= y
′
−
1
√
13
(25.40)
приходим к канонической системе координат x
′′
O
′
y
′′
с началом в точке
O
′
(5/
√
13, 1/
√
13), в которой кривая запишется в канонической форме
(x
′
− 5/
√
13)
2
4
−
(y
′
− 1/
√
13)
2
9
= 1. (25.41)
Уравнение (25.41) описывает гиперболу, изображенную на рис. 142,б. Из срав-
нения рис. 142,а и 142,б видно, что положение начала канонической системы ко-
ординат в первом случае задается в старой системе координат xOy как x
0
= 1,
y
0
= 1, а во втором — в системе координат x
′
Oy
′
ка к x
′
0
= 5/
√
13, y
′
0
= 1/
√
13.
Координаты x
0
, y
0
и x
′
0
, y
′
0
связаны общим соотношением (25.21) (или (25.22)):
1 =
1
√
13
15
√
13
−
2
√
13
,
1 =
1
√
13
10
√
13
+
3
√
13
.
(25.42)
2. В декартовой системе координат уравнение кривой имеет вид
5x
2
+ 12xy − 22x − 12y + 17 = 0.
Вычислив инварианты кривой, с уч¨етом результа тов примера 24.2 убежда-
емся в том, что кривая является распадающейся и соответствует двум прямым
x = 1, 5x + 12y − 17 = 0. (25.43)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- …
- следующая ›
- последняя »
