ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
224 Глава 3. Кривые линии на плоскости
Для их построения совершенно не требуется каноническая система координат,
поскольку они легко строятся в системе xOy (см. рис. 143,a).
Прямые (25.43) пересекаются в точке O
′
(1, 1), т.е. в то чке, которая является
центром гиперболы, найденной в предыдущем примере; более того, эти прямые
являются ее асимптотами. Это объясняется тем, что уравнения кривых из этих
двух примеров обладают одинаковыми квадратичными и линейными частями,
различаясь лишь свободным членом. Таким образом, к заданной квадратичной
и линейной частям всегда можно подобрать свободный член, который обращает
инвариант ∆ в нуль и делает кривую распадающейся на прямые, являющиеся
асимптотами (см. пример 24.2) соответствующей гиперболы.
Решим эту же задачу без использования инва риантов. П оскольку без инва-
риантов заранее установить , распадается кривая или нет, нево зможно, то следу-
ет найти каноническую систему координат. Для этого следует решить задачу на
собственные значения и собственные векторы матрицы квадратичной формы.
Поскольку матрица квадратичной формы данной кривой совпадает с матрицей
квадратичной формы рассмотренной выше кривой, мы можем воспользоваться
новым базисом (25.37):
~e
′
1
=
1
√
13
(3~e
1
+ 2~e
2
),
~e
′
2
=
1
√
13
(−2~e
1
+ 3~e
2
)
(25.44)
и новой системой координат x
′
Oy
′
. Связь между старыми коо рдинатами x, y и
новыми координатами x
′
, y
′
задается соотношениями (24.9):
x =
1
√
13
(3x
′
− 2y
′
),
y =
1
√
13
(2x
′
+ 3y
′
),
(25.45)
подставив которые в исходное уравнение, привед¨ем его к виду
9(x
′
)
2
− 4(y
′
)
2
−
90
√
13
x
′
+
8
√
13
y
′
+ 17 = 0.
Выделив полный квадрат в этом уравнении, получим
9
x
′
−
5
√
13
2
− 4
y
′
−
1
√
13
2
= 0.
Рис. 143.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 222
- 223
- 224
- 225
- 226
- …
- следующая ›
- последняя »
