Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 226 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

226 Глава 3. Кривые линии на плоскости
совпадающими в силу (25.51) и равными тангенсу (23.27) угла поворота оси Ox
(или Ox
′
, что то же самое), приводящего к канонической системе координат:
tg ϕ =
λ − a
11
a
12
= −
a
11
a
12
. (25.52)
Поверн¨ем систему координат xO
′
y на угол ϕ, определяемый соотношением (25.52).
Такой поворот приводит к канонической системе координат x
′′
O
′
y
′′
, в кото-
рой параметры x
0
, y
0
, определяющие па ра ллельный перенос, пока произвольны.
Матрица Q
′′
, согласно ( 25.2), (25.5), имеет вид
Q
′′
=
0 0 a
′′
1
0 λ
2
a
′′
2
a
′′
1
a
′′
2
F (x
0
, y
0
)
!
, (25.53)
где
a
′′
1
= a
′
1
cos ϕ + a
′
2
sin ϕ =
= (a
11
x
0
+ a
12
y
0
+ a
1
) cos ϕ + (a
12
x
0
+ a
22
y
0
+ a
2
) sin ϕ,
a
′′
2
= −a
′
1
sin ϕ + a
′
2
cos ϕ =
= −(a
11
x
0
+ a
12
y
0
+ a
1
) sin ϕ + (a
12
x
0
+ a
22
y
0
+ a
2
) cos ϕ,
(25.54)
и
F (x
0
, y
0
) = a
11
x
2
0
+ 2a
12
x
0
y
0
+ a
22
y
2
0
+ 2a
1
x
0
+ 2a
2
y
0
+ a
0
. (25.55)
Теперь параметры пара ллельного переноса выберем так, чтобы коэффици-
енты a
′′
2
и F (x
0
, y
0
) обращались в нуль. Для этого нам нужно решить систему
−(a
11
x
0
+ a
12
y
0
+ a
1
) sin ϕ + (a
12
x
0
+ a
22
y
0
+ a
2
) cos ϕ = 0,
F (x
0
, y
0
) = 0.
(25.56)
Если x
0
и y
0
есть решения системы (25.56), то матрица (25.53) приводится к
виду
Q
′′
=
0 0 a
′′
1
0 λ
2
0
a
′′
1
0 0
!
, (25.57)
что соответствует уравнению параболы в канонической форме
λ
2
(y
′′
)
2
+ 2a
′′
1
x
′′
= 0. (25.58)
Заметим, что первое уравнение из (25.56) с уч¨етом (2 5.52) можно записать в
виде
a
11
(a
11
x
0
+ a
12
y
0
+ a
1
) + a
12
(a
12
x
0
+ a
22
y
0
+ a
2
) = 0,
и тогда систему (25.56) можно записать через исходные коэффициенты уравне-
ния как
a
11
(a
11
x
0
+ a
12
y
0
+ a
1
) + a
12
(a
12
x
0
+ a
22
y
0
+ a
2
) = 0,
a
11
x
2
0
+ 2a
12
x
0
y
0
+ a
22
y
2
0
+ 2a
1
x
0
+ 2a
2
y
0
+ a
0
= 0.
(25.59)
Таким образом, как и в предыдущих случаях, мы можем независимо друг от
друга найти начало канонической системы координат, решив (25.59), и угол ее
поворота относительно исходной системы ко ординат, во спользовавшись (25.52).
Для уравнения параболы в канонической форме можно воспользоваться соот-
ношением (24.43 ):
(y
′′
)
2
±
2
S
r
−
∆
S
x
′′
= 0, (25.60)
выбрав знак, противоположный знаку инварианта S.

Страницы