ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
25. Каноническая система координат 227
Пример 25.3. В заданной системе координат построить кривые второго по-
рядка из примера 24.3.
Решение.
1. В декартовой системе координат уравнение кривой имеет вид
x
2
−4xy + 4y
2
+ 4x − 3y − 7 = 0.
Каноническая фо рма этого уравнения
(y
′′
)
2
−
1
√
5
x
′′
= 0 (25.61)
получена в примере 24.3 методом инва рианто в:
λ
1
= 0, λ
2
= 5, s = Sp G = Sp
1 −2
−2 4
= 5, δ = det G = 0,
∆ = det Q =
1 −2 2
−2 4 −3/2
2 −3/2 −7
= −
25
4
< 0.
(25.62)
Чтобы построить эту параболу, найд¨ем начало канонической системы коорди-
нат — точку O
′
(x
0
, y
0
). Для этого следует решить систему (25.59), которая в
данном случае имеет вид
1 · (x
0
−2y
0
+ 2) − 2
− 2x
0
+ 4y
0
−
3
2
= 0,
x
2
0
− 4x
0
y
0
+ 4y
0
+ 4x
0
− 3y
0
− 7 = 0,
т.е.
x
0
−2y
0
= −1,
(x
0
− 2y
0
)
2
+ 4x
0
− 3y
0
−7 = 0
или
x
0
−2y
0
= −1,
4x
0
− 3y
0
= 6,
откуда координаты x
0
и y
0
находятся как
x
0
= 3, y
0
= 2. (25.63)
Угол поворота, приводящий к каноническо й системе координат x
′′
O
′
y
′′
, дается
соотношением (25.52):
tg ϕ = −
a
11
a
12
= −
2
(−2)
=
1
2
, ϕ = arctg
1
2
≈ 26,5
◦
. (25.64)
Вычислив
cos ϕ =
1
p
1 + tg
2
ϕ
=
1
p
1 + 1/4
=
2
√
5
;
sin ϕ =
p
1 − cos
2
ϕ =
r
1 −
4
5
=
1
√
5
,
(25.65)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- …
- следующая ›
- последняя »
