Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 228 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

228 Глава 3. Кривые линии на плоскости
запишем преобразования координат, приводящие исходное уравнение к канони-
ческой форме, в виде
x
y
=
1
√
5
2 −1
1 2
x
′′
y
′′
+
3
2
. (25.66)
Это означает, что каноническая система координат x
′′
O
′
y
′′
имеет своим началом
точку O
′
(3, 2), а ее координатные оси пов¨ернуты на угол ϕ = arctg
1
2
против
часовой стрелки (см. рис. 144,a).
Для построения параболы вычислим, согласно (25.54),
a
′′
1
= (a
11
x
0
+ a
12
y
0
+ a
1
) cos ϕ + (a
12
x
0
+ a
22
+ a
2
) sin ϕ =
= (1 · 3 − 2 · 2 + 2)
2
√
5
+
− 2 · 3 + 4 · 2 −
3
2
1
√
5
=
√
5
2
и воспользовавшись формулой (25.58), получим
λ
2
(y
′′
)
2
+ 2a
′′
1
x
′′
= 5(y
′′
)
2
+
√
5(x
′′
) = 0
или
(y
′′
)
2
= −
1
√
5
x
′′
, (25.67)
что соответствует параболе, изображенной на рис. 144,a (ее в етв и направлены
против оси Ox
′′
).
Вместо формулы (25.58) можно воспользоваться канонической формой (25.60),
записанной через инварианты:
(y
′′
)
2
±
2
s
r
−
∆
s
x
′′
= (y
′′
)
2
±
2
5
r
−
25
4 · 5
x
′
= (y
′′
)
2
±
1
√
5
x
′
= 0.
Недостатком этой формулы является то, что знак второго слагаемого не опре-
делен и, следовательно, не определено направ ление ветвей параболы в кано-
нической системе координат. Направление ветвей параболы можно выяснить,
если учесть, что ось y
′′
или, в силу (25.66), прямая y = 2x + 8 яв ляется каса-
тельной к параболе в ее вершине. Если теперь провести любую прямую, парал-
лельную ей, и эта прямая пересеч¨ет параболу, то парабола будет расположена
в той же полуплоскости, что и секущая прямая. Поэтому выберем, например,
прямую y = −2x, расположенную в отрицательной полуплоскости x
′′
< 0 (см.
рис. 144,a). Подставив y = −2x в исходное уравнение, найд¨ем
(x − 2y)
2
+ 4x − 3y − 7
y =−2x
= (5x)
2
+ 10x − 7 = (5x + 1)
2
−8 = 0;
x
1,2
=
1
5
(−1 ±
√
8).
Это означает, что прямая y = −2x пересекает параболу в двух точках и, сле-
довательно, парабола расположена в отрицательной полуплоскости x
′′
< 0. Это
соответствует выбору знака «+», что приводит к уравнению
(y
′′
)
2
+
1
√
5
x
′
= 0,
совпадающему с (25.67).

Страницы