ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
234 Глава 3. Кривые линии на плоскости
Решение. Запишем уравнение (26.6), определяющее асимптотическое направ-
ление кривой, в матричной форме:
F
2
= (m n)
a
11
a
12
a
12
a
22
m
n
=
m
n
⊺
G
m
n
= 0. (26.7)
Поскольку направление вектора ~s = (m, n) не меняется при параллельном пе-
реносе системы координат, достаточно рассмотреть ортогональное преобразо-
вание, соответствующее ее повороту:
m
n
= P
m
′
n
′
, (26.8)
при котором матрица G квадратичной формы кривой, согласно теореме 23.1,
преобразуется к виду
G
′
= P
⊺
GP. (26.9)
Подставив (26.7) в (26.6), получим
F
2
(m, n) =
m
n
⊺
G
m
n
=
P
m
′
n
′
⊺
GP
m
′
n
′
=
=
m
′
n
′
⊺
P
⊺
GP
m
′
n
′
=
m
′
n
′
⊺
G
′
m
′
n
′
= F
′
2
(m
′
, n
′
) = 0. (26.10)
Таким образом, ква дратичная часть (26.7) не зависит от выбора системы коор-
динат. Это и означает, что асимптотическое направление является ха ра ктери-
стикой самой кривой, это направление удобнее всего установить в канонической
системе координат.
Пример 26.2. Показать, что кривая второго порядка гиперболического ти-
па имеет два асимптотических направления, совпадающих с направлениями ее
асимптот; кривая параболического типа — одно асимптотическое направление,
совпадающее с направлением ее о си симметрии, а кривая эллиптического типа
асимптотических направлений не имеет. Результат проиллюстрировать графи-
чески.
Решение. Согласно определению (26.7), уравнение для нахождения асимпто-
тических направлений кривых второго порядка имеет вид
a
11
m
2
+ 2a
12
mn + a
22
n
2
= 0.
Если a
11
6= 0, т о n 6= 0, так как иначе и m = 0. Разделим уравнение на n
2
:
a
11
m
n
2
+ 2a
12
m
n
+ a
22
= 0,
откуда
m
n
1,2
=
−a
12
±
p
a
2
12
− a
11
a
22
a
11
=
−a
12
±
√
−δ
a
11
. (26.11)
Из (26.11) следует, что кривые параболического типа, для которых δ < 0, имеют
два асимптотических направления (26.11).
Кривые параболического типа, для которых δ = 0, имеют одно асимптоти-
ческое направление
m
n
= −
a
12
a
11
. (26.12)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 232
- 233
- 234
- 235
- 236
- …
- следующая ›
- последняя »
