ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
26. Пересечение кривой второго порядка с прямыми 233
26. Пересечение кривой второго порядка с прямыми
Рассмотрим кривую второго порядка, заданную в некоторой системе коор-
динат уравнением
F (x, y) = a
11
x
2
+ 2a
12
xy + a
22
y
2
+ 2a
1
x + 2a
2
y + a
0
= 0, (26.1)
и прямую, проходящую через точку M
0
(x
0
, y
0
) с направляющим вектором ~s =
(m, n), заданную параметрическими уравнениями
x = x
0
+ mt,
y = y
0
+ nt.
(26.2)
Чтобы найти точки пересечения заданных линий, подставим (26.1) в (26.2).
Такая подстановка привед¨ет к квадратному уравнению для определения пара-
метра t, соответствующего точкам пересечения:
F (x, y) = F
0
+ 2F
1
t + F
2
t
2
= 0, (26.3)
где
F
0
= F (x
0
, y
0
),
F
1
= m(a
11
x
0
+ a
12
y
0
+ a
1
) + n(a
12
x
0
+ a
22
y
0
+ a
2
), (26.4)
F
2
= a
11
m
2
+ 2a
12
mn + a
22
n
2
.
С помощью уравнения (26.3) можно проследить особенности пересечения кри-
вых второго порядка и прямых.
Если F
2
6= 0, то квадратное уравнение (26.3) имеет либо два решения — раз-
личных или совпадающих, либо решений не имеет. Геометрически это означает,
что кривая второго порядка и прямая либо не пересекаются, либо пересекаются
в двух точках: различных при t
1
6= t
2
и совпадающих при t
1
= t
2
(точку касания
будем рассматривать как две совпадающие).
Если же F
2
= 0, то уравнение (26.3) вырождается в линейное:
F
0
+ 2F
1
t = 0. (26.5)
Отсюда при F
1
6= 0 уравнение будет иметь единственное решение t
1
, соо твет-
ствующее единственной точке пересечения, которая ни в коем случае не может
быть точкой касания. Если же F
1
= 0, т о при F
0
6= 0 уравнение (26.5) решений
не имеет, а при F
0
= 0 оно превращается в тождество, т.е. имеет бесконечное
множество решений. Геометрически это соответствует в первом случае отсут-
ствию т очек пересечения, а во втором тому, что кривая распада ется на прямые,
одна из которых является заданной.
Направление, задава емое вектором ~s = (m, n), координаты которого удо-
влетворяют уравнению
F
2
= a
11
m
2
+ 2a
12
mn + a
22
n
2
= 0 (26.6)
называется асимптотическим направлением кривой 2-го порядка.
Пример 26.1. Показать, что асимптотическое направление является характе-
ристикой самой кривой и не меняет своей ориентации от но сительно осей сим-
метрии кривой при ортонормированных преобразованиях системы координат.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 231
- 232
- 233
- 234
- 235
- …
- следующая ›
- последняя »
