Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 235 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

26. Пересечение кривой второго порядка с прямыми 235
Кривые эллиптического типа, для которых δ > 0, асимптотических направле-
ний не имеют.
Для геометрической интерпретации удобнее (и достаточно) воспользовать ся
канонической системой координат, в которой матрица G имеет диагональный
вид. Рассмотрим последовательно все три типа.
I. Гипербола
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 1.
Ее асимптотические направления находятся из уравнения (26.7):
m
2
a
2
−
n
2
b
2
=
m
a
−
n
b

m
a
+
n
b
= 0
или
m
n
= ±
a
b
(26.13)
и, как следует из (26.13), асимптотические направления гиперболы — это на-
правления ее асимптот. На рис. 146,a изображено взаимное расположение гипер-
болы и прямых асимптотических направлений. Две прямые, представляющие
асимптоты гиперболы, не имеют точек пересечения с ней. Любые параллельные
асимптотам прямые, т.е. прямые асимптотического направления, пересекаются
с гиперболой только в одной точке.
Рис. 146.
На рис. 14 6,б изображено взаимное расположение гиперболы и прямых неа-
симптотических направлений. Любая прямая неасимптотического направления
либо не пересекается с гиперболой, либо пересекается с ней в двух точках (точка
касания рассматривается как две совпадающие).
II. Парабола
y
2
− 2a
1
x = 0, a
1
> 0.
Ее асимптотические направления находятся из уравнения n
2
= 0, которое зада-
ет направление ~s = (m, 0), совпада ющее с направлением оси Ox, являющейся
осью симметрии данной параб олы. На рис. 147,a изображено взаимное располо-
жение параболы и прямых асимптотических направлений, т.е. прямых, парал-
лельных оси Ox. Каждая прямая а симптотического направления пересекает
параболу только в одной точке (точки касания отсутствуют).
На рис. 147,б изображено взаимное расположение параболы и прямых неа-
симптотических направлений. Любая прямая неасимптотического направления
либо не пересекается с параболой, либо пересекается с ней в двух точках (точка
касания рассматривается как две совпавшие).
III. Эллипс
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1

Страницы