ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
27. Плоскость 237
ГЛАВА 4
Прямая и плоскость в пространстве
27. Плоскость
27.1. Параметрические уравнения и общее уравнение плоскости
Из курса элементарной геометрии известно, что плоскость в пространстве
можно задать, например, точкой и прямой или тремя точками. Последнее утвер-
ждение с помощью векторной алгебры можно интерпретировать как задание
точки и двух неколлинеарных векторов.
Пусть M
0
— точка, через которую проходит плоскость и ~s
1
и ~s
2
— два линейно
независимых (неколлинеарных) вектора, параллельных плоскости π (если зада-
ны три точки, то ~s
1
=
−−−−→
M
0
M
1
, ~s
2
=
−−−−→
M
0
M
2
). Выберем на плоскости произвольную
точку M. Тогда вектор
−−−→
M
0
M принадлежит этой плоскости и, следовательно,
три вектора
−−−→
M
0
M, ~s
1
и ~s
2
являются компланарными. Это означает, что вектор
−−−→
M
0
M можно разложить по векторам ~s
1
и ~s
2
:
−−−→
M
0
M = ~s
1
t
1
+ ~s
2
t
2
,
или
~r = ~r
0
+ ~s
1
t
1
+ ~s
2
t
2
, (27.1)
где ~r =
−−→
OM, ~r
0
=
−−→
OM
1
— радиус-векторы точек M и M
1
, соответственно, а t
1
и t
2
— некоторые числа или параметры, представляющие координаты вектора
−−−→
M
0
M в б азисе ~s
1
~s
2
. Изменяя в (27.1) па раметры t
1
и t
2
от −∞ до +∞независимо
друг от друга, мы перебер¨ем все точки M, лежащие на плоскости.
Уравнение (27 .1 ) называется параметрическим уравнением п лоскости π
в векторной форме.
♦ Нетрудно показать, что плоскость π является аффинным пространством,
поэтому плоскость, проходящую через точку M
0
параллельно векторам ~s
1
и ~s
2
,
будем обозначать так: π = {M
0
, ~s
1
, ~s
2
}.
Уравнение (27.1) можно записать в координатной форме.
Пусть в пространстве с репером (O,~ı,~,
~
k) заданы точка M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) и век-
торы ~s
1
= (m
1
, n
1
, p
1
), ~s
2
= (m
2
, n
2
, p
2
), определяющие положение плоскости
π. Пусть M(x, y, z) — произвольная точка плоскости с радиус-вектором ~r =
(x, y, z). Тогда из (27.1) следует
x = x
0
+ m
1
t
1
+ m
2
t
2
,
y = y
0
+ n
1
t
1
+ n
2
t
2
, (27.2)
z = z
0
+ p
1
t
1
+ p
2
t
2
.
Уравнения (27.2) называются параметрическими у равнениями плоско-
сти, проходящей через точку M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) параллельно векторам ~s
1
и ~s
2
, в
координатной форме. Векторы ~s
1
и ~s
2
называются направляющи ми векторами
плоскости.
Система (27.2) эквивалентна утверждению: столбцы матрицы
x − x
0
m
1
m
2
y −y
0
n
1
n
2
z − z
0
p
1
p
2
!
= 0
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 235
- 236
- 237
- 238
- 239
- …
- следующая ›
- последняя »
