ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
238 Глава 4. Прямая и плоскость в пространстве
линейно зависимы. Последнее будет справедливо, если
x − x
0
y − y
0
z − z
0
m
1
n
1
p
1
m
2
n
2
p
2
= 0. (27.3)
Разложив определитель по первой строке, получим
A(x − x
0
) + B(y − y
0
) + C(z − z
0
) = 0, (27.4)
где
A =
n
1
p
1
n
2
p
2
, B = −
m
1
p
1
m
2
p
2
, C =
m
1
n
1
m
2
n
2
, (27.5)
Теперь можно ввести вектор
~
N = (A, B, C). Особенностью этого вектора явля-
ется его ортогональность направляющим векторам ~s
1
и ~s
2
, поскольку, согласно
(27.5),
~
N = ~s
1
×~s
2
. (27.6)
Если вектор
~
N = (A, B, C) в (27.4 ) задан, то это урав-
Рис. 149.
нение является уравнением плоскости в векторной фор-
ме. Геометрически уравнение (27.4) означает, что лю-
бой вектор
−−−→
M
0
M плоскости ортогонален к вектору
~
N
(рис. 149):
(
~
N,
−−−→
M
0
M) = 0. (27.7)
Уравнения (27.4) и (27.7) называются уравнени-
ем плоскости, проходящей через заданную точку M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) перпендикуляр-
но заданному вектору
~
N, в координатной и векторной форме, соответственно.
Вектор
~
N называется вектором нормали к плоскости.
Раскрыв скобки в уравнении (27.4), получим
Ax + By + Cz + D = 0, (27.8)
где D = −Ax
0
− By
0
−Cz
0
= (
~
N, ~r
0
).
Уравнение (27.8) называется общим уравнением плоскости.
Теорема 27.1. Плоскости в пространстве — это в точности поверхности
первого порядка.
Доказательство. При выводе уравнения (27.8) векторы ~s
1
и ~s
2
предполагались
неколлинеарными, в силу чего их координаты непропорциональны, и, соглас-
но (27.5), хотя бы одно из чисел A, B, C отлично от нуля. Значит, уравнение
плоскости есть уравнение 1-о й степени (27.8).
Покажем теперь, что всякое уравнение первой степени (27.8) является урав-
нением плоскости. Предположим, что A 6= 0 (в противном случае будем рас-
сматривать коэффициенты B или C). Возьм¨ем точку M
0
(−D/A, 0, 0) и направ-
ляющие в екторы ~s
1
= (−B/A, 1, 0) и ~s
2
= (−C/A, 0, 1). Покажем, что плоскость
π, проходящая через точку M
0
, с направляющими векторами ~s
1
и ~s
2
совпадает
с множеством решений уравнения (27.8). Действительно, уравнение плоскости
π, записанное через определитель (2 7.3), имеет вид
x + D/A y z
−B/A 1 0
−C/A 0 1
= (x + D/A) + (C/A)z + (B/A)y = 0
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 236
- 237
- 238
- 239
- 240
- …
- следующая ›
- последняя »
