ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
27. Плоскость 239
или
Ax + By + Cz + D = 0,
что и требовалось доказать.
Следствие 27.1.1. Общее уравнение плоскости инвариантно относительно пре-
образования системы координат, представляющего параллельный перенос на
любой вектор, перпендикулярный е¨е вектору нормали.
Действительно, общее уравнение плоскости
Ax + By + Cz = −D
можно записать в виде
(
~
N, ~r) = −D, (27.9)
где ~r = (x, y, z) — радиус-вектор точки M(x, y, x) плоскост и.
Переход к новой системе координат (O
′
, x
′
, y
′
, z
′
) определяется равенством
~r = ~r
′
+ ~a. (27.10)
Подставив (27.10 ) в (2 7.9), с уч¨етом (
~
N,~a) = 0 получим
(
~
N, ~r
′
−~a) = (
~
N, ~r
′
) = −D,
т.е.
Ax
′
+ By
′
+ Cz
′
= −D
— уравнение, совпадающее с исходным.
27.2. Уравнение плоскости,
проходящей через три различные точки
Пусть точки M
0
(x
0
, y
0
, z
0
), M
1
(x
1
, y
1
, z
1
), M
2
(x
2
, y
2
, z
2
) не
Рис. 150.
лежат на одной пря мой (рис. 150). В этом случае векторы
−−−−→
M
0
M
1
,
−−−−→
M
0
M
2
и
−−−→
M
0
M компланарны тогда и только тогда ,
когда
(
−−−→
M
0
M,
−−−−→
M
0
M
1
,
−−−−→
M
0
M
2
) = 0
или
x − x
0
y − y
0
z − z
0
x
1
− x
0
y
1
− y
0
z
1
−z
0
x
2
− x
0
y
2
− y
0
z
2
−z
0
= 0. (27.11)
Уравнение (27.11) зада¨ет плоскость, проходящую через три точки. Очевидно,
что его можно было получить исходя из уравнения (27.3), положив в качестве
направляющих векторов ~s
1
=
−−−→
M
0
M
1
и ~s
2
=
−−−→
M
0
M
2
.
Кроме этого, от несимметричной по координатам x
i
, y
i
, z
i
форме определи-
теля (27.11) можно перейти к симметричной, не зависящей от порядка выбора
точки M
i
. Действительно, воспользовавшись свойствами определителя, опреде-
литель (27.11) можно записать как
x − x
0
y − y
0
z − z
0
0
x
1
−x
0
y
1
− y
0
z
1
−z
0
0
x
2
−x
0
y
2
− y
0
z
2
−z
0
0
x
0
y
0
z
0
1
= 0.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 237
- 238
- 239
- 240
- 241
- …
- следующая ›
- последняя »
