ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
27. Плоскость 241
получим уравнение
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1, (27.17)
которое принято называть уравнением плоскости в отрезках. Числа a, b, c суть
ориентированные длины отрезков, которые плоскость отсекает на координат-
ных о сях (считая от начала координат). Пусть y = 0, z = 0. Тогда то чка пере-
сечения плоскости с осью Ox определится из уравнения плоскости:
x
a
+
0
b
+
0
c
= 1,
т.е. x = a. Таким образом, длина отрезка, отсекаемого плоскостью на оси Ox,
действительно равна |a|, а знак a характеризует расположение плоскости отно-
сительно начала координат.
Пример 27.1. Построить плоскость, заданную уравнением в общем виде
x −y + 2z − 2 = 0.
Решение. Запишем уравнение плоскости в отрезках:
Рис. 151.
x
2
+
y
−2
+
z
1
= 1.
Здесь a = 2 – отрезок, который плоскость отсекает на оси Ox,
b = −2 – на оси Oy, c = 1 – на оси Oz.
Прямая, являющаяся пересечением заданной плоскости с координатной
плоскостью, называется е¨е следом.
Треугольник на рис. 151 о бразован следами плоскости из примера 27.1.
27.5. Неполные уравнения плоскости
Исследуем, какие частные положения относительно осей координат зани-
мает плоскость Ax + By + Cz + D = 0, если некоторые коэффициенты этого
уравнения обращаются в нуль.
1. Если D = 0, плоскость Ax +By + Cz = 0, у которой отсут-
Рис. 152.
ствует свободный член, проходит через начало координа т, так
как его координаты удовлет воряют уравнению этой плоскости:
A ·0 + B · 0 + C · 0 = 0.
2. Если C = 0, то нормальный вектор
~
N = (A, B, 0) плоско-
сти Ax + By + D = 0 перпендикулярен оси Oz, так как проекция его на ось Oz
равна нулю. Следовательно, плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси Oz
(рис. 152). Эта плоскость пересекает ось Ox (y = 0, z = 0, а x находим из урав-
нения плоскости) в точке P
1
(−D/A, 0, 0), а ось Oy (x = 0, z = 0 , а y находим из
уравнения плоскости) — в точке P
2
(0, −D/B, 0).
3. Аналогично, если в общем уравнении плоскости B = 0,
Рис. 153.
то плоскость
Ax + Cz + D = 0
параллельна оси Oy, нормальный в ектор
~
N = (A, 0, C) перпен-
дикулярен оси Oy (и здесь, если в уравнении плоскости отсут-
ствует член с y, то плоскость Ax + Cz + D = 0 параллельна оси
Oy) (рис. 153).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 239
- 240
- 241
- 242
- 243
- …
- следующая ›
- последняя »
