ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
27. Плоскость 243
параллельны тогда и только тогда, когда векторы
~
N
1
= (A
1
, B
1
, C
1
) и
~
N
2
=
(A
2
, B
2
, C
2
) коллинеарны, т.е.
A
1
A
2
=
B
1
B
2
=
C
1
C
2
. (27.20)
Плоскости π
1
и π
2
совпадают, когда
A
1
A
2
=
B
1
B
2
=
C
1
C
2
=
D
1
D
2
, (27.21)
и не пересекаются в противном случае:
A
1
A
2
=
B
1
B
2
=
C
1
C
2
6=
D
1
D
2
. (27.22)
Доказательство. Достато чность (27.20) вытекает из леммы 27.1. Действитель-
но, из (27.18) и (27.20) следует, что плоскостям π
1
и π
2
параллельны одни и те
же множества векторов, а значит, плоскости π
1
и π
2
параллельны.
Докажем обратное утв ерждение. Один из коэффициентов первого уравне-
ния (27.19) должен быть отличен от нуля. Без ограничения общности будем
считать, что это A
1
. Тогда неколлинеарные векторы
~a
1
= (−B
1
, A
1
, 0), ~a
2
= (−C, 0, A
1
)
параллельны плоскости π
1
, а значит, они параллельны и плоскости π
2
. Согласно
условию параллельности вектора плоскости (27.18), имеем
A
2
(−B
1
) + B
2
A
1
= 0, A
2
(−C
1
) + C
2
A
1
= 0,
откуда
A
1
A
2
=
B
1
B
2
,
A
1
A
2
=
C
1
C
2
,
что эквивалентно условию (27.20).
Перейд¨ем теперь к соотношению (27.21). Достаточность очевидна, и в про-
верке нуждается только необходимость. Из пропорции (27 .21) следует A
2
= λA
1
,
B
2
= λB
1
, C
2
= λC
1
. Пусть точка M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) — произвольная точка совпа да-
ющих плоскостей π
1
= π
2
. Так как
0 = λ(A
1
x
0
+ B
1
y
0
+ C
1
z
0
+ D
1
) − (A
2
x
0
+ B
2
y
0
+ C
2
z
0
+ D
2
) = λD
1
− D
2
,
то
D
2
= λD
1
.
Пропорциональность четв¨ерок (27.2 1) установлена.
Параллельные несовпадающие плоскости не пересекаются, и, следовательно,
справедливо соотношение (27.22).
Следствие 27.2.1. Плоскост и π
1
и π
2
(27.19) пересекаются тогда и только то-
гда, когда векторы
~
N
1
= (A
1
, B
1
, C
1
) и
~
N
2
= (A
2
, B
2
, C
2
) коллинеарны.
♦ Задачу о взаимном расположении двух плоскостей можно свести к задаче
исследования системы из двух уравнений (27.19).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 241
- 242
- 243
- 244
- 245
- …
- следующая ›
- последняя »
