Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 244 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

244 Глава 4. Прямая и плоскость в пространстве
27.7. Взаимное расположение тр¨ех плоскостей
Пусть плоскости π
1
, π
2
и π
3
задаются, соответственно, уравнениями
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0,
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0,
A
3
x + B
3
y + C
3
z + D
3
= 0.
(27.23)
Векторы нормалей к плоскостям:
~
N
1
= (A
1
, B
1
, C
1
),
~
N
2
= (A
2
, B
2
, C
2
) и
~
N
3
=
(A
3
, B
3
, C
3
).
В этом случае задачу о взаимном расположении т р¨ех плоскостей удобнее
свести к исследованию решений системы (27.23). Если обозначить через P ма т-
рицу и через
¯
P расширенную матрицу системы (27.23):
P =
A
1
B
1
C
1
A
2
B
2
C
2
A
3
B
3
C
3
!
и
¯
P =
A
1
B
1
C
1
D
1
A
2
B
2
C
2
D
2
A
3
B
3
C
3
D
3
!
,
то возможны следующие случаи:
1) если det P 6= 0, то три заданные плоскости имеют только одну точку
пересечения, так как в этом случае система (27.23) имеет единственное решение;
2) если rang P = 2, rang
¯
P = 3 и среди векторов
~
N
1
,
~
N
2
,
~
N
3
нет коллинеар-
ных, то система (27.23) несовместна, плоскости попарно пересекаются, прич¨ем
прямые пересечения попарно различны (плоскости образуют треугольную приз-
му);
3) если rang P = 2, rang
¯
P = 3 и среди векторов
~
N
1
,
~
N
2
,
~
N
3
есть два колли-
неарных, то система (27.2 3) несовместна, две плоскости параллельны, а третья
их пересекает;
4) если ra ng P = 2, rang
¯
P = 2 и среди векторов
~
N
1
,
~
N
2
,
~
N
3
нет ко ллинеарных,
то система (27.23) имеет бесконечное множество решений, плоскости попарно
различны и проходят через одну прямую;
5) если rang P = 2, rang
¯
P = 2 и среди векторов
~
N
1
,
~
N
2
,
~
N
3
есть два колли-
неарных, то две плоскости совпадают, а третья их пересекает;
6) если rang P = 1, но коэффициенты любой пары уравнений не пропорци-
ональны, то плоскости попарно параллельны;
7) если rang P = 1, но среди уравнений есть только два, коэффициенты ко то-
рых пропорциональны, то две плоскости совпадают, а третья им параллельна;
8) если rang
¯
P = 1, то три плоскости совпадают.
27.8. Пучок и связка плоскостей
Пусть π
1
и π
2
— две плоскости, заданные уравнениями
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0,
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0,
(27.24)
пересекаются по пря мой ℓ.
Уравнение
α(A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
) + β(A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
) = 0 (27.25)
называется уравнением пучка плоскостей, проходящих через линию пересече-
ния плоскостей π
1
и π
2
.

Страницы