ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
246 Глава 4. Прямая и плоскость в пространстве
Решение. Существует несколько способов решения этой задачи. Рассмотрим
два из них.
1-й способ. Поскольку линией пересечения плоскостей π
1
и π
2
является пря-
мая, не параллельная ни одной координатной плоскости, т о можно найти точки
пересечения этой прямой с плоскостями, например z = 0 и x = 0. Это даст нам
три точки, через которые проходит искомая плоскость. Уравнение этой плоско-
сти зада¨ет формула (27.12).
Итак, положив в (27.28) z = 0, имеем систему
x + 2y + 4 = 0,
3x + 2y −4 = 0,
решение ко торой: x = 4, y = −4. Таким образом, точка пересечения прямой
(27.28) с плоскостью z = 0 имеет координаты M
1
(4, −4, 0).
Положив теперь в (27.28) x = 0, получим систему
2y + 3z + 4 = 0,
2y + z − 4 = 0,
решение которой: y = 4, z = −4. Это означает, что точка пересечения прямой
(27.28) с плоскостью x = 0 имеет координаты M
2
(0, 4, −4).
Имеем три точки: M
0
(2, 2, 2), M
1
(4, −4, 0) и M
2
(0, 4, −4), через которые про-
ходит искома я плоскость. Е¨е уравнение определяется формулой (27.12):
x y z 1
2 2 2 1
4 −4 0 1
0 4 −4 1
= 0.
Вычтя последнюю строку определителя из тр¨ех первых, найд¨ем
x y − 4 z + 4 0
2 −2 6 0
4 −8 4 0
0 4 −4 1
=
x y − 4 z + 4
2 −2 6
4 −8 4
= 0.
Разложив определитель по первой строке, получим искомое уравнение плоско-
сти:
x(−8 + 48) − ( y − 4)(8 − 2 4) + (z + 4 )(−16 + 8) = 0
или
5x + 2y − z − 12 = 0. (27.29)
2-й способ. Запишем уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую
(27.28):
α(x + 2y + 3z + 4) + β(3x + 2y + z − 4) = 0. (27.30)
Искомо й плоскостью является одна из плоскостей (27.30). П одстав ив в (27.30)
координаты точки M
0
(2, 2, 2), получим
α(2 + 4 + 6 + 4) + β(6 + 4 + 2 − 4) = 0
или
β = −2α.
Положив α = 1, имеем β = −2. Подставив их в (27.30), найд¨ем искомое урав-
нение плоско сти:
(x + 2y + 3z + 4) − 2(3x + 2y + z − 4) = 0
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 244
- 245
- 246
- 247
- 248
- …
- следующая ›
- последняя »
