ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
27. Плоскость 247
или
5x + 2y −z − 12 = 0,
совпадающее с уравнением (27 .2 9), полученным первым способом.
Как видим, использование уравнения пучка прямых позволяет существенно
сократить число арифметических выкладок.
Пример 27.4. Записать уравнение плоскости, проходящей через линию пере-
сечения двух плоскостей:
π
1
: x + 2y + 3z + 4 = 0,
π
2
: 3x + 2y + z − 4 = 0,
(27.31)
параллельно вектору ~a = (1, 0, −2).
Решение. Привед¨ем два решения: без и с использованием ура внения пучка
плоскостей.
1-й способ. Поскольку прямая (27.31) совпадает с прямой (27.29) из преды-
дущего примера, то ей принадлежат две точки: M
1
(4, −4, 0) и M
2
(0, 4, −4). Те-
перь в качестве одного направляющего вектора плоскости выберем вектор ~a,
т.е. ~s
1
= ~a = (1, 0, −2), а в качестве другого направляющего вектора — вектор
−−−→
M
1
M
2
, т.е. ~s
2
=
−−−→
M
1
M
2
= (−4, 8, −4). Зная направляющие векторы плоскости,
можно найти нормальный к ней вектор
~
N = ~s
1
×~s
2
=
~ı ~
~
k
1 0 −2
−4 8 −4
= 16~ı + 12~ + 8
~
k.
Тогда, выбрав в качестве точки, принадлежащей плоскости, например точку
M
1
(4, −4, 0), запишем искомое уравнение плоскости
16(x − 4) + 12(y + 4) + 8z = 0
или
4x + 3y + 2z − 4 = 0. (27.32)
2-й способ. Запишем уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую
(27.31):
α(x + 2y + 3z + 4) + β(3x + 2y + z − 4) = 0 (27.33)
или
(α + 3β)x + (2α + 2β)y + (3α + β)z + 4(α − β) = 0
с нормалью к плоскости
~
N = (α + 3β, 2α + 2 β, 3α + β). (27.34)
Плоскость (27.33) с нормалью (27.34 ) будет параллельна вектору ~a, если будет
выполняться условие
~
N ·~a = 0,
т.е.
(α + 3β) − 2(3α + β) = 0,
откуда
β = 5α.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 245
- 246
- 247
- 248
- 249
- …
- следующая ›
- последняя »
