ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
28. Прямая линия в пространстве 249
Рис. 155.
Уравнение (28.1) называется общим уравнением прямой в про-
странстве. Например, уравнения оси Oz можно задать как ре-
зультат пересечения двух координатных плоскостей xOz и yOz:
x = 0,
y = 0,
а уравнения оси Ox — как результат пересечения координатных плоскостей xOz
и xOy:
y = 0,
z = 0
и уравнения оси Oy — как результат пересечения координатных плоско стей yOx
и yOz:
z = 0,
x = 0.
28.2. Параметрические и канонические уравнения прямой
Как и для прямой на плоскости, для того чтобы записать уравнение пря-
мой в заданном аффинном репере, необходимо задать точку, через которую эта
прямая проходит, и е¨е направление. Направление можно задать либо вектором,
параллельным этой прямой, либо еще одной точкой на прямой.
Пусть в пространстве с репером (O,~ı,~,
~
k) заданы точ-
Рис. 156.
ка M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) и ~s = (m, n, p) — направляющий вектор
прямой (28.2) (если задана вторая точка M
1
(x
1
, y
1
, z
1
), то
~s =
−−−→
M
0
M
1
). Пусть M
0
— точка, через которую проходит
прямая. Выберем на прямой произвольную то чку M, тогда
вектор
−−−→
M
0
M принадлежит этой прямой и, следовательно,
коллинеарен вектору ~s, т.е.
−−−→
M
0
M = t~s, (28.2)
где t — некоторое число или параметр, связывающий ко ллинеарные векторы.
Изменяя в (28.2) параметр t от −∞ до +∞, мы перебер¨ем все точки M, лежащие
на прямой. Вектор
−−−→
M
0
M есть разность:
−−−→
M
0
M = ~r − ~r
0
, где ~r = (x, y, z), ~r
0
=
(x
0
, y
0
, z
0
) — радиус-векторы точек M и M
1
, соо тветственно (см. рис. 156). Тогда
уравнение (28.2) можно записать в виде
~r = ~r
0
+ t~s. (28.3)
Уравнение (28.2), (28.3) называется параметрическим уравн ен ием прямой
в пространст ве в векторной форме.
От векторной ф ормы (28.2) можно перейти к координатной.
x = x
0
+ mt,
y = y
0
+ nt,
z = z
0
+ pt.
(28.4)
Уравнения (28.4) называются параметрическими уравнениями прямой, про-
ходящей через точку M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) параллельно вектору ~s = (m, n, p).
Исключив в (28.4) параметр t, получим уравнение
x − x
0
m
=
y − y
0
n
=
z − z
0
p
. (28.5)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 247
- 248
- 249
- 250
- 251
- …
- следующая ›
- последняя »
