ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
250 Глава 4. Прямая и плоскость в пространстве
Уравнения (28.5) называются каноническими у равнени ями прямой, про-
ходящей через точку M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) параллельно вектору ~s = (m, n, p), или урав-
нениями прямой в канони ческой форме.
♦ Для обозначения прямой ℓ, проходящей через то чку M
0
параллельно век-
тору ~s, будем использовать символ ℓ = {M
0
, ~s}.
♦ Если одна из координат вектора ~s = (m, n, p) равна нулю, то запись
x −x
0
0
=
y − y
0
n
=
z − z
0
p
понимается в смысле пропорции, т.е. в смысле (28.4), откуда следует, что коор-
дината x не меняется и равна x
0
, т.е. x = x
0
.
От канонического уравнения прямой (28.5) можно перейти к уравнению пря-
мой в о бщем виде (28.4), например, из (28.5) запишем
x −x
0
m
=
y − y
0
n
,
x −x
0
m
=
z − z
0
p
,
откуда
nx −my + D
1
= 0, D
1
= nx
0
−my
0
,
px −mz + D
2
= 0, D
2
= px
0
− mz
0
,
(28.6)
Уравнение (28.6) определяет прямую, которая является линией пересечения
плоскостей с нормалями
~
N
1
= (n, −m, 0) и
~
N
2
= (p, 0, −m) и проходит через
точку M
0
(x
0
, y
0
, z
0
).
28.3. Переход от уравнения прямой общего вида к каноническим
Пусть прямая определяется уравнением в общем виде (28.2):
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0,
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0.
(28.7)
Требуется написать уравнение этой прямой в канонической форме (28.5). Ре-
шение этой задачи можно получить, по меньшей мере, двумя способами. Один
из них опирается на определение канонических уравнений, а другой на понятие
пучка плоскостей. Рассмотрим последовательно оба способа.
1 способ. Нужно найти координаты какой- либо точки M
1
(x
1
, y
1
, z
1
), лежащей
на прямой. Координаты такой точки можно найти из системы (28.7), положив
z = z
1
, где z
1
– любое действительное число, x и y найд¨ем из системы двух
уравнений:
A
1
x + B
1
y = −C
1
z
1
− D
1
,
A
2
x + B
2
y = −C
2
z
1
− D
2
.
(28.8)
Пусть x = x
1
, y = y
1
. Тогда координаты фиксированной точки на прямой будут
(x
1
, y
1
, z
1
), а уравнение прямо й в канонической форме запишется как
x − x
1
m
=
y − y
1
n
=
z − z
1
p
, (28.9)
где ~s = (m, n, p) — направляющий вектор прямой (28.7), координаты которого
пока неизвестны.
На следующем этапе определим координаты m, n, p вектора ~s. Прямая лежит
в заданных плоскостях
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0 (α),
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 248
- 249
- 250
- 251
- 252
- …
- следующая ›
- последняя »
