ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
28. Прямая линия в пространстве 251
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0 (β),
и, следовательно, ~s перпендикулярен нормальным векторам
~
N
1
= (A
1
, B
1
, C
1
)
и
~
N
2
= (A
2
, B
2
, C
2
) этих плоскостей: ~s ⊥
~
N
1
и ~s ⊥
~
N
2
. Поэтому можно взять
направляющий вектор ~s прямой равным векторному произведению векторов
~
N
1
и
~
N
2
:
~s = [
~
N
1
,
~
N
2
] =
~ı ~
~
k
A
1
B
1
C
1
A
2
B
2
C
2
= m~ı + n~ + p
~
k, (28.10)
где обозначено
m = B
1
C
2
−B
2
C
1
, n = A
2
C
1
−A
1
C
2
, p = A
1
B
2
−A
2
B
1
.
Наконец, подставив полученные значения m, n и p в (28.9), получим уравнение
прямой (28.7) в канонической форме.
2-й способ. Запишем уравнение пучка плоскостей (11.1 5), проходящих через
прямую (28.7):
(αA
1
+ βA
2
)x + (αB
1
+ βB
2
)y + (αC
1
+ βC
2
)z + (αD
1
+ βD
2
) = 0. (28.11)
Так как вектор нормали в (28.11) имеет координаты
~
N = (αA
1
+ βA
2
, αB
1
+ βB
2
, αC
1
+ βC
2
), (28.12)
то, выбрав последовательно αB
1
+ βB
2
= 0 и αC
1
+ βC
2
= 0, получим общие
уравнения прямой в форме (28.6), из которых следуют канонические уравнения
прямой.
Пример 28.1. Привести к каноническому виду уравнение прямой
2x − 3y − 3z −9 = 0,
x − 2y + z + 3 = 0.
(28.13)
Решение. 1. Найд¨ем, например, точку M
1
, через которую данная прямая про-
ходит, положив z = −3. Тогда система (28.13) перепишется так:
2x − 3y = 0,
x − 2y = 0.
Определитель матрицы этой системы
∆ =
2 −3
1 −2
= −4 − (−3) = −1 6= 0.
Тогда однородная система имеет единственное решение
x =
∆
x
∆
=
0 −3
0 −2
−1
=
0
−1
= 0, y =
0
−1
= 0.
Итак, точка на прямой имеет координаты M
1
(0, 0, −3).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 249
- 250
- 251
- 252
- 253
- …
- следующая ›
- последняя »
