ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
29. Основные задачи о плоскости и прямой в пространстве 253
28.4. Уравнение прямой, проходящей через две точки
Даны две точки M
1
(x
1
, y
1
, z
1
) и M
2
(x
2
, y
2
, z
2
). Запишем уравнение прямой,
проходящей через эти точки. Примем любую из данных точек, например M
1
, за
фиксированную («направляющую») точку искомой прямой, а за направляющий
вектор ~s – вектор
~s =
−−−−→
M
1
M
2
= ~r
1
−~r
2
= (x
2
− x
1
)~ı + (y
2
−y
1
)~ + (z
2
− z
1
)
~
k,
где m = x
2
− x
1
, n = y
2
− y
1
, p = z
2
− z
1
. Тогда прямая в канонической форме,
согласно (28.5), запишется так:
x − x
1
x
2
− x
1
=
y − y
1
y
2
− y
1
=
z − z
1
z
2
−z
1
. (28.17)
Это и есть уравнение прямой, проходящей через две т очки.
Пример 28.3. Даны три вершины треугольника: A(1, 2, 3), B(−1, 0, 2) и
C(2, −1, −3). Написать уравнения сторон треугольника.
Решение. Подставив в (28 .17) x
1
= 1, y
1
= 2, z
1
= 3 и x
2
= −1, y
2
= 0, z
2
= 2,
получим уравнение прямой (AB):
x − 1
−2
=
y − 2
−2
=
z − 3
−1
.
Аналогично для прямых (AC) и (CB) соответственно получим
x − 1
1
=
y −2
−3
=
z − 3
−6
,
x − 2
−3
=
y + 1
1
=
z + 3
−1
.
29. Основные задачи о плоскости
и прямой в пространстве
29.1. Уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую
и не лежащую на этой прямой точку
Даны точка M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) и прямая
ℓ :
x − x
1
m
=
y − y
1
n
=
z − z
1
p
.
Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую ℓ и то чку M
0
, при усло-
вии, что о на не принадлежит этой прямой.
Обозначим через ~r
0
радиус-вектор точки M
0
, а через ~r — радиус-вектор
точки M, где M(x, y, z) — произвольная точка плоскости. Векторы ~r −~r
0
, ~s =
(m, n, p) и ~r
1
−~r
0
компланарны, следовательно, приходим к уравнению
x − x
0
y − y
0
z − z
0
x
1
− x
0
y
1
− y
0
z
1
−z
0
m n l
= 0. (29.1)
Уравнение (29.1) – уравнение плоскости, проходящей через заданную пря-
мую ℓ и не лежащую на этой прямой точку M
0
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 251
- 252
- 253
- 254
- 255
- …
- следующая ›
- последняя »
