ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
248 Глава 4. Прямая и плоскость в пространстве
Положив α = 1, имеем β = 5. Подставив их в (27 .3 3), получим искомое уравне-
ние плоскости
(x + 2y + 3z + 4) + 5(3x + 2y + z − 4) = 0
или
4x + 3y + 2z − 4 = 0,
совпадающее с уравнением (27.32 ), найденным первым способом.
Пример 27.5. Тр¨ехгранный угол, образованный плоскостями
π
1
: x + 2y + 3z + 4 = 0,
π
2
: 3x + 2y + z − 4 = 0,
π
3
: x + 2y + z − 1 = 0,
(27.35)
пересекает плоскость
π
4
: x −y + z = 0. (27.36)
Найти уравнение плоскости π, проходящей через вершину тр¨ехгранного угла
параллельно плоскости π
4
.
Решение. Можно решить систему (27.35) и тем самым найти точку пересече-
ния плоскостей π
1
, π
2
, π
3
. Далее, зная уравнение нормали к плоскости π
4
, легко
записать уравнение искомой плоскости. Решение можно найти и проще, если
воспользоваться уравнением связки плоскостей
α(x + 2y + 3z + 4) + β(3x + 2y + z − 4) + γ(x + 2y + z − 1) = 0
в виде
(α + 3β + γ)x + (2α + 2β + 2γ)y + (3α + β + γ)z + (4α − 4β + γ) = 0. (27.37)
В связке плоскостей (27 .37) коэффициенты α, β, γ следует выбрать так, чтобы
е¨е вектор нормали
~
N = (α + 3β + γ, 2α + 2β + 2γ, 3α + β + γ) был параллелен
вектору нормали к плоскости π
4
:
~
N
4
= (1, −1, 1). Условием параллельности
~
N
и
~
N
4
является пропорциональность их координат:
α + 3β + γ
1
=
2α + 2β + 2γ
−1
=
3α + β + γ
1
.
Тогда
α + 3β + γ = 2α + 2β + 2γ;
α + 3β + γ = 3α + β + γ,
откуда β = α, γ = −8α/3 или, если положить α = 3, то β = 3, γ = −8. Подставив
эти значения в (27.37 ), получим искомое уравнение плоскости:
x −y + z + 2 = 0.
Геометрически найденная плоскость представляет собой плоскость, параллель-
ную основанию треугольной пирамиды, боковые грани которой образуют плос-
кости π
1
, π
2
, π
3
(27.35), а основанием я вляется плоскость π
4
(27.36).
28. Прямая линия в пространстве
28.1. Уравнение прямой в общем виде
Пря мую линию в пространстве можно рассматривать как линию пересече-
ния двух непараллельных плоскостей (рис. 15 5)
α : A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0 ,
β : A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0 .
(28.1)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 246
- 247
- 248
- 249
- 250
- …
- следующая ›
- последняя »
