Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 245 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

27. Плоскость 245
Пусть π
1
, π
2
и π
3
— три плоскости, заданные уравнениями
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0,
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0,
A
3
x + B
3
y + C
3
z + D
3
= 0,
(27.26)
пересекаются в точке M.
Уравнение
α(A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
) + β(A
2
x + B
2
y + C
2
z +D
2
) + γ(A
3
x + B
3
y + C
3
z + D
3
) = 0
(27.27)
называется уравнением связки п лоскостей, проходящих через точку пересече-
ния плоскостей π
1
, π
2
и π
3
.
Теорема 27.3. Плоскость π принадлежит пучку плоскостей (27.24) тогда
и тольк о тогда, когда ее уравнение можно представить в виде (2 7.25) при
условии, что α и β не равны нулю одновременно.
Доказательство полностью аналогично доказательст ву для пучка прямых на
плоскости.
Следствие 27.3.1. Три любые плоскости, не принадлежащие одному пучку,
однозначно определяют связку.
Теорема 27.4. Плоскость π принадлежит связке плоскостей (27.26) тогда
и тольк о тогда, когда ее уравнение можно представить в виде (2 7.27) при
условии, что α, β и γ не равны нулю одновременно.
Доказательство полностью аналогично доказа тельству теоремы 27.3.
Пример 27.2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
M
1
(2, 1, 1) пара ллельно плоскости β: 2 x − 3y − z −4 = 0.
Решение. Запишем урав нение связки плоскостей, проходящих через заданную
точку M
1
:
A(x −2) + B(y − 1) + C( z − 1) = 0.
Пусть
~
N = (A, B, C) — нормальный вектор искомой плоскости, который по ка
нам не известен. Искомая плоскость α должна б ыть параллельна данной плос-
кости β. Поэтому в качестве нормального вектора
~
N искомой плоскости можно
взять вектор, равный вектору нормали
~
N
1
= {2, −3, 1} данной плоскости
~
N =
~
N
1
= 2~ı − 3~ −
~
k,
т.е. A = 2, B = −3, C = −1. Таким образом, уравнение искомой плоско сти есть
2(x − 2) −3(y − 1) − (z − 1) = 0
или
2x − 3 y − z = 0.
Пример 27.3. Записать уравнение плоскости, проходящей через линию пере-
сечения двух плоскостей:
π
1
: x + 2y + 3z + 4 = 0,
π
2
: 3x + 2y + z −4 = 0,
(27.28)
и точку M
0
(2, 2, 2).

Страницы