ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
242 Глава 4. Прямая и плоскость в пространстве
4. Если A = 0, то плоскость By+Cz+D = 0 параллельна оси Ox (в уравнении
отсутствует член с x).
5. Если A = B = 0, получим уравнение Cz + D = 0. По предыдущему эта
плоскость проходит параллельно оси Ox (A = 0) и оси Oy (B = 0). Следова-
тельно, плоскость Cz + D = 0 параллельна плоско сти xOy и пересекает ось Oz
в точке P (0, 0, −D/C) (рис. 154,a).
Рис. 154.
6. Аналогично, если A = C = 0, то плоскость By + D = 0 пара ллельна
плоскости xOz (рис. 154 ,б).
7. Если B = C = 0, то плоскость Ax + D = 0 параллельна плоскости yOz
(рис. 154,в).
8. Если A = D = 0, то плоскость By + Cz = 0 параллельна оси Ox (A = 0)
и проходит через начало координат (D = 0). Следовательно, эта плоскость
проходит через ось Ox.
9. Аналогично, если B = D = 0, то плоскость Ax + Cz = 0 содержит ось Oy
(все точки оси лежат в этой плоскости).
10. Если C = D = 0, то плоскость Ax + By = 0 проходит через ось Oz.
11. Если A = B = 0, то уравнение Cz = 0 или z = 0, поскольку C 6= 0,
определяет координатную плоскость xOy.
12. Если A = C = D = 0, то уравнение By = 0 или y = 0 определяет
координатную плоско сть xOz.
13. Аналогично, если B = C = D = 0, то уравнение Ax = 0 или x = 0
определяет координатную плоскость yOz.
27.6. Взаимное расположение двух плоскостей
Лемма 27.1. Вектор ~a = (α, β, γ) параллелен плоскости π, задаваемой урав-
нением Ax + By + Cz + D = 0, тогда и только тогда, когда
(
~
N,~a) = Aα + Bβ + Cγ = 0. (27.18)
Доказательство. Вектор параллелен плоскости тогда и т олько тогда, когда
вместе с его началом плоско сти принадлежит и его конец. Отложим вектор
~a = (α, β, γ) от точки M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) плоскости π. Тогда его конец будет иметь
координаты M
1
(x
0
+ α, y
0
+ β, z
0
+ γ). Таким образом, параллельность вектора
плоскости π эквивалентна равенству
A(x
0
+ α) + B(y
0
+ β) + C(z
0
+ γ) + D = 0,
которое с уч¨етом условия Ax + By + Cz + D = 0 принадлежности точки M
0
плоскости π совпадает с уравнением (27.18).
Теорема 27.2. Плоскости π
1
и π
2
, заданные уравнениями
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0,
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0,
(27.19)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 240
- 241
- 242
- 243
- 244
- …
- следующая ›
- последняя »
