ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
25. Каноническая система координат 231
приходим к канонической системе координат x
′′
O
′
y
′′
с началом в точке
O
′
(8/
√
5, 1/
√
5), в которой кривая запишется в канонической форме
(y
′′
)
2
= −
1
√
5
x
′′
. (25.74)
Уравнение (25.74) описывает параб олу, изображенную на рис. 144,б. Из сравне-
ния рис. 144,а и 14 4,б видно, что положение начала канонической системы ко-
ординат в первом случае задается в старой системе координат xOy как x
0
= 3,
y
0
= 2, а во втором — в системе координат x
′
Oy
′
ка к x
′
0
= 8 /
√
5, y
′
0
= 1/
√
5.
Координаты x
0
, y
0
и x
′
0
, y
′
0
связаны общим соотношением (25.72).
Кривые 2,3,4 объединены одним уравнением в дека рт овой системе коорди-
нат:
x
2
+ 4xy + 4y
2
−2x −4y + a
0
= 0, (25.75)
ко торое при a
0
= −3 описывает кривую 2, при a
0
= 1 — кривую 3 и при a
0
= 2
— кривую 4.
Все три кривые о писываются матрицей
Q =
1 2 −1
2 4 −2
−1 −2 a
0
!
(25.76)
и матрицей ква драт ичной фо рмы
G =
1 2
2 4
. (25.77)
Поскольку оба инварианта δ и ∆ ра вны нулю:
δ = det G =
1 2
2 4
= 0;
∆ = det Q =
1 2 −1
2 4 −2
−1 −2 a
0
=
1 2 −1
0 0 0
−1 −2 a
0
= 0,
то эти кривые относятся к пара болическому типу и представляют собой парал-
лельные, совпадающие и мнимые (∅) прямые, полученные в примере 24.3:
№ 2, a
0
= −3,
x + 2y + 1 = 0,
x + 2y −3 = 0;
F (x, y) = (x + 2y + 1)(x + 2y − 3) = 0;
№ 3, a
0
= 1, x + 2y + 1 = 0, F (x, y) = (x + 2y + 1)
2
= 0;
№ 4, a
0
= 2,
x + 2y − 1 = i,
x + 2y − 1 = −i;
F (x, y) = (x + 2y −1)
2
+ 1 = 0,
соответственно.
Рис. 145.
Построение кривых 2,3,4 не вызывает затрудне-
ний и не требует использования канонической си-
стемы координат (рис. 145), поскольку эти кривые
являются прямыми.
Иначе обстоит дело, если не используются инва-
рианты кривой. В этом случае конечный результат
не очевиден, и следует найти каноническую систему
ко ординат. Поскольку все три уравнения имеют од-
ну и т у же матрицу квадратичной формы, то можно
воспользоваться одной задачей на собственные зна-
чения:
GE
′
= λE
′
(25.78)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 229
- 230
- 231
- 232
- 233
- …
- следующая ›
- последняя »
