ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
37. Параболоиды 297
При
qB
2
−pA
2
= 0 (37.15)
линия пересечения вырождается в прямую:
(x
0
Bq + y
0
Ap)t
1
+ pqt
2
−
x
2
0
−y
2
0
2
= 0. (37.16)
Из (37.15) с уч¨етом A
2
+ B
2
= 1 найд¨ем
A =
r
q
p + q
, B =
r
p
p + q
. (37.17)
Тогда уравнение плоскости (37.12) примет вид
√
q(x − x
0
) +
√
p(y −y
0
) = 0. (37.18)
Сечением гиперболического параболоида плоскостью (37.18) является прямая
(37.16).
При
qB
2
−pA
2
6= 0 (37.19)
линия пересечения (37.15) является параб олой, ось которой совпадает с осью
t
2
, параллельна оси Oz и направлена вверх или вниз в зависимости от знака
величины (37.19).
Перейд¨ем ко второй части теоремы. Произвольная невертикальная плос-
кость π описывается о бщим уравнением
Ax + By + (z −z
0
) = 0. (37.20)
Эта плоскость проходит через т очку M
0
(0, 0, z
0
), имеет вектор нормали
~
N =
(A, B, 1), которому соответствует ортонормированная пара направляющих век-
торов ~s
1
= (1, 0, −A) и ~s
2
= (0, 1, −B). Записав уравнения секущей плоскости π
(37.20) в параметрической форме:
x = t
1
, y = t
2
, z = z
0
− At
1
−Bt
2
(37.21)
и подставив их в уравнения гиперболического параболоида, получим уравнение
плоского сечения гиперболического параболоида в прямоугольных координатах
t
1
M
0
t
2
на плоскости π:
t
2
1
p
+
t
2
2
q
= 2(z
0
− At
1
− Bt
2
),
которое после тождественных преобразований можно записать в виде
(t
1
+ Ap)
2
p
−
(t
2
−Bq)
2
q
−(2z
0
− A
2
p − B
2
q) = 0. (37.22)
При фиксированных A и B и изменении z
0
полученное уравнение (37.22) из
всех содержательных кривых 2-го порядка может определять только гиперболу,
которая при единственном значении
z
0
=
1
2
(qB
2
−pA
2
)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 295
- 296
- 297
- 298
- 299
- …
- следующая ›
- последняя »
