ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
37. Параболоиды 295
Не уменьшая общности, можно предполагать, что A
2
+ B
2
= 1. Эта плоскость
проходит через точку M
0
(x
0
, y
0
, 0), имеет единичный вектор нормали
~
N(A, B, 0),
кот орому соответствует ортонормированная пара направляющих векторов ~s
1
=
(0, 0, 1) и ~s
2
= (−B, A, 0). Записав уравнения вертикальной плоскости π (37.3)
в параметрическом виде
x = x
0
− Bt
1
,
y = y
0
+ At
1
,
z = t
2
(37.4)
и подставив их в уравнения эллиптического параболоида, получим уравнение
плоского вертикального сечения эллиптического параболоида в прямоугольных
коо рдинатах t
1
M
0
t
2
на плоскости π:
(x
0
− Bt
1
)
2
p
+
(y
0
+ At
1
)
2
q
= 2t
2
. (37.5)
Уравнение (37.5) яв ляется уравнением параболы, ось которой, совпадая с осью
t
2
, параллельна оси Oz (t
2
= z) и направлена вверх. Фока ль ный параметр этой
плоскости равен
p
′
=
pq
pA
2
+ qB
2
=
pq
(p −q)A
2
+ q
и, следовательно, изменяется от p
′
= q при A = 1 до p
′
= p при A = 0.
Перейд¨ем ко второй части теоремы. Произвольная невертикальная плос-
кость π описывается общим уравнением
Ax + By + (z − z
0
) = 0. (37.6)
Эта плоскость проходит через т очку M
0
(0, 0, z
0
), имеет вектор нормали
~
N =
(A, B, 1), которо му соответствует ортонормированная пара направляющих век-
торов ~s
1
= (1, 0, −A) и ~s
2
= (0, 1, −B). Записав уравнения секущей плоскости π
(37.6) в параметрической форме
x = t
1
,
y = t
2
,
z = z
0
−At
1
− Bt
2
(37.7)
и подставив их в уравнения эллиптического параболоида, получим уравнение
плоского сечения эллиптического параболоида в прямоугольных координатах
t
1
M
0
t
2
на плоскости π:
t
2
1
p
+
t
2
2
q
= 2(z
0
− At
1
− Bt
2
). (37.8)
При фиксированных A и B и изменении z
0
полученное уравнение (37.8) из
всех содержательных кривых 2-го порядка может определять только эллипс,
кот орый вырождается в точку для касательной плоскости, что и требовалось
доказат ь.
37.2. Гиперболический параболоид
Согласно табл. 4, уравнение гиперболического параболоида (кривая № 8)
имеет вид
x
2
p
−
y
2
q
= 2z. (37.9)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 293
- 294
- 295
- 296
- 297
- …
- следующая ›
- последняя »
