Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 293 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

37. Параболоиды 293
с одним и тем же эксцентриситетом, но возрастающими с ростом h полуосями.
Аналогичные выводы получаются для сечений x = ±h.
Рассмотрим теперь секущую плоскость
x −(z −z
0
) tg ψ = 0, (36.4)
проходящую через ось Oy под углом ψ к оси Oz и пересекающую е¨е в точке z
0
.
Общему уравнению (36.4 ) соответствуют параметрические уравнения
x = t
2
sin ψ,
y = t
1
, (36.5)
z = t
2
cos ψ
с ортонормированной парой направляющих векторов ~s
1
= (0, 1, 0) и ~s
2
= (sin ψ, 0, cos ψ).
Подставив (36.5) в уравнение конуса (36.1), получим уравнение линии его пере-
сечения с секущей плоскостью (36.5 ) в декартов ой системе координат {M
0
(0, 0, z
0
), t
1
t
2
}
на плоскости π:
sin
2
ψ
a
2
t
2
2
+
1
b
2
t
2
1
−
cos
2
ψ
c
2
t
2
2
. (36.6)
Чтобы определить тип линии пересечения (36.6) как кривой 2-го порядка, вы-
пишем матрицу ква драт ичной формы:
G =
sin
2
ψ
a
2
−
cos
2
ψ
c
2
0
0
1
b
2
и вычислим е¨е определитель:
δ = det G =
tg
2
ψ −
a
2
c
2
cos
2
ψ
b
2
a
2
. (36.7)
Из (36.7) следует, что
а) если δ = 0 , т.е. tg ψ = a/c, то линией пересечения является парабола;
б) если δ < 0 , т.е. tg ψ < a/c, то линией пересечения является гипербола;
в) если δ > 0 , т.е. tg ψ > a/c, то линией пересечения будет эллипс.
Среди линий параболического типа, т.е. при tg ψ = a/c и z
0
= 0 параболы
(36.6) вырождаются в пару совпада ющих прямых t
1,2
= 0, которые в перемен-
ных x, y, z определяются как пересечения плоскостей
cx − az = 0, y = 0 .
Среди линий эллиптического типа, т.е. при tg ψ > a/c для угла
ψ = arctg
a
c
r
b
2
+ c
2
b
2
+ a
2
, b > a, (36.8)
линия пересечения (36.6) яв ляется окружностью.
Следствие 36.1.1. Поверхность
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= 0,
называемую конусом 2-го порядка, можно получить как множество прямых,
проходящих через точки кривой (36.6) и начало координат.
Заметим, что кривые 2-го порядка (36.6) ра зличных типов мо г ут образовы-
вать один и тот же конус.
Конус 2-го порядка является частным случаем конической поверхности.
Такие поверхности мы рассмотрим ниже.

Страницы