ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
292 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
Как и для рассмотренных выше поверхностей, для конуса координатные
плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат — точка O —
центром симметрии. Ось Oz выделена из тр¨ех координатных осей, поскольку
она является осью конуса.
Уравнение конуса 2-го порядка обладает отличительной особенностью — оно
однородно, т.е.
(λx)
2
a
2
+
(λy)
2
b
2
−
(λz)
2
c
2
= λ
2
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= 0.
Геометрически это означает, что любая прямая, содержащая точку O и неко-
торую другую точку конуса, является его пря молинейной образующей. Если
учесть, что поверхность конуса не относится к распадающимся поверхностям,
то все прямолинейные образующие конуса пересекаются в точке O, называемой
его вершиной.
Если a = b, т.е.
x
2
+ y
2
a
2
−
z
2
c
2
= 0,
то конус называется круговым конусом. Его можно получить вращением прямой
x
a
−
z
c
= 0
или
x
a
+
z
c
= 0
, y = 0
вокруг оси Oz.
Теорема 36.1. Плоским сечением конуса 2-го порядка может быть любая ли-
ния 2-го порядка за исключением двух несовпадающих прямых.
Доказательство. В силу однородности уравнения (36.1) несовпадающие па-
раллельные прямые не могут быть плоскими сечениями конуса 2-го порядка.
Сечением конуса плоскостями z = ±h являются кривые
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
h
2
c
2
, (36.2)
При h = 0 они вырождаются в точку, совпадающую с его вершиной.
При h 6= 0 линиями пересечения являются эллипсы
x
2
(ah/c)
2
+
y
2
(bh/c)
2
= 1
с одним и тем же эксцентриситетом, но возрастающими с ростом h полуосями.
Сечением конуса плоскостями y = ±h являются кривые
z
2
c
2
−
x
2
a
2
=
h
2
b
2
, (36.3)
При h = 0 они вырождаются в пару пересекающихся прямых
z
c
−
x
a
= 0,
z
c
+
x
a
= 0, y = 0.
При h 6= 0 линиями пересечения являются гиперболы
z
2
(ch/b)
2
−
x
2
(ah/b)
2
= 1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 290
- 291
- 292
- 293
- 294
- …
- следующая ›
- последняя »
