ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
290 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
Чтобы определить тип линии пересечения (3 5.33) как кривой 2-го порядка, вы-
пишем матрицу квадратичной формы:
G =
sin
2
ψ
a
2
−
cos
2
ψ
c
2
0
0
1
b
2
(35.34)
и вычислим е¨е определитель
δ = det G =
1
b
2
sin
2
ψ
a
2
−
cos
2
ψ
c
2
=
cos
2
ψ
b
2
a
2
tg
2
ψ −
a
2
c
2
. (35.35)
Из (35.35) следует, что
а) если δ = 0, т.е. tg ψ = a/c, то линией пересечения является парабола;
б) если δ < 0, т.е. tg ψ < a/c, то линией пересечения является гипербола;
в) если δ > 0, т.е. tg ψ > a/c, то линией пересечения будет эллипс.
Исследуем возможность получить среди линий эллиптического типа, т.е. при
tg ψ > a/c, эллипс с нулевым эксцентриситетом, т.е. окружность.
Линия пересечения (35.33) будет окружностью при условии
sin
2
ψ
a
2
−
cos
2
ψ
c
2
=
1
b
2
. (35.36)
Из (35.36) с уч¨етом известного соотношения cos
2
ψ = 1 − sin
2
ψ найд¨ем
sin ψ =
a
b
r
c
2
+ b
2
c
2
+ a
2
(35.37)
и, соответственно,
cos ψ =
c
b
r
b
2
−a
2
c
2
+ a
2
. (35.38)
Подставив (35.37), (35.38) или (35.36) в (35.33 ), получим уравнение
t
2
1
+ t
2
2
= b
2
, (35.39)
определяющее окружность радиуса b с центром в начале координат.
Уравнение плоскости, которая пересекает однополостный гиперболоид по
окружности (35.39), имеет вид (35.31 ) и с уч¨етом (35.3 7), (35.38) запишется как
c
√
b
2
−a
2
x −a
√
b
2
+ c
2
z = 0. (35.40)
Плоскость (35.40) существует при условии b > a, которое в нашем случае
выполняется. Это означает, что только плоскость, проходящая через большую
ось горлового эллипса однополостного гиперболоида, может пересечь его по
окружности.
Пример 35.4. Для однополостного гиперболоида
x
2
9
+
y
2
25
−
z
2
16
= 1
записать уравнения плоскостей, пересекающих его по окружности, двум парал-
лельным прямым и параболе, а также определить вид линии его пересечения с
плоскостями, проходящими через ось Oy под углом 30
◦
и 60
◦
, соответственно.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 288
- 289
- 290
- 291
- 292
- …
- следующая ›
- последняя »
