ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
35. Гиперболоиды 289
Поскольку параметрические уравнения секущей плоскости (35.22) имеют об-
щий вид
x −(z − z
0
) tg ψ = 0, (35.29)
то при tg ψ = a/c это уравнение переходит в уравнение (35.21). Это означает, что
плоскость (35.29), проходящая параллельно оси Oy под углом ψ = arctg(a/c) к
оси Oz, пересекает однополостный гиперболоид по параболе (35.27) при z
0
6= 0
и по паре параллельных прямых (35.28) при z
0
= 0 (плоско сть проходит через
саму ось Oy).
Интересно, что одна из параллельных прямых (35.28), например t
1
= b,
совпадает с одной из пересекающихся прямых, получаемых при сечении ги-
перболоида плоскостью y = b. Эту прямую можно рассматривать как линию
пересечения двух плоскостей:
y −b = 0,
cx − az = 0.
(35.30)
Действительно, подставив (35 .3 0) в уравнение одно поло стного гиперболоида
(az/c)
2
a
2
+
b
2
b
2
−
z
2
c
2
= 1,
получим тождество
1 ≡ 1.
Это означает, что, в отличие от двуполостного гиперболоида, однополостный
имеет прямолинейные образующие и его поверхность может быть получена при
соответствующем движении прямой (35 .30). Это свойство однополостного ги-
перболоида мы рассмотрим ниже в разд. «Линейчатые поверхности».
Пример 35.3. Исследовать сечение однополостного гиперболоида
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= 1, b > a,
плоскостью π, проходящей через ось Oy, в зависимости от угла е¨е наклона к
оси Oz.
Решение. Плоскость π, проходящая через ось Oy под углом ψ к оси Oz, опи-
сывается об щим уравнением
x − z tg ψ = 0 (35.31)
или параметрическими уравнениями
x = t
2
sin ψ,
y = t
1
, (35.32)
z = t
2
cos ψ
с орто нормированной парой направляющих векторов ~s
1
= (0, 1, 0) и ~s
2
=
= (sin ψ, 0, cos ψ). Подставив (35.32) в уравнение однополостного гиперболоида,
получим уравнение линии его пересечения с плоскостью (35.32) в декартовой
системе коо рдинат t
1
Ot
2
на плоскости π:
sin
2
ψ
a
2
t
2
2
+
1
b
2
t
2
1
−
cos
2
ψ
c
2
t
2
2
= 1. (35.33)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 287
- 288
- 289
- 290
- 291
- …
- следующая ›
- последняя »
