ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
288 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
при z
0
6= 0 пересекает однополостный гиперболоид по пара боле, а при z
0
= 0 —
по параллельным прямым.
Рассмотрим плоскость π, проходящ ую через точку M
0
(0, 0, z
0
), направляю-
щими векторами которой служит пара ортонормированных векторов
~s
1
= (0, 1, 0), ~s
2
= (m
2
, 0,
q
1 − m
2
2
).
В параметрическом виде эта плоскость зада¨ется уравнениями
π :
x = m
2
t
2
,
y = t
1
,
z = z
0
+
p
1 − m
2
2
t
2
.
(35.21)
В силу ортонормированности векторов ~s
1
, ~s
2
величины t
1
и t
2
в (35.21) можно
считать декартовыми координатами системы координат t
1
M
0
t
2
на плоскости π.
Сама плоскость π (35.21) параллельна оси Oy и образует с осью Oz угол ψ,
который определяется соотношением
tg ψ =
sin ψ
cos ψ
=
m
2
p
1 − m
2
2
. (35.22)
Подставив (35.22) в уравнение однополостного гиперболоида, получим урав-
нение линии пересечения в координатах t
1
, t
2
:
m
2
2
a
2
t
2
2
+
1
b
2
t
2
1
−
(z
0
+
p
1 − m
2
2
t
2
)
2
c
2
= 1
или
h
m
2
2
1
a
2
+
1
c
2
−
1
c
2
i
t
2
2
+
1
b
2
t
2
1
−
2z
0
c
2
q
1 − m
2
2
t
2
−
z
2
0
c
2
= 1. (35.23)
Потребуем в (35 .23) выполнения условия
m
2
2
1
a
2
+
1
c
2
−
1
c
2
= 0, (35.24)
которое свед¨ет его к уравнению пара болического типа.
Разрешив (35.24) относительно m
2
, найд¨ем
m
2
=
a
√
a
2
+ c
2
(35.25)
и, соответственно,
q
1 −m
2
2
=
c
√
a
2
+ c
2
. (35.26)
С уч¨етом этого уравнение (35.23 ) примет в ид
1
b
2
t
2
1
−
2z
0
c
√
a
2
+ c
2
t
2
−
z
2
0
c
2
= 1. (35.27)
Уравнение (35 .2 7) при z
0
6= 0 описывает параболу, а при z
0
= 0 — пару парал-
лельных прямых
t
2
1
= b
2
; t
1
= −b, t
1
= b, (35.28)
пресекающих горловой эллипс, что и т ребовалось доказать.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 286
- 287
- 288
- 289
- 290
- …
- следующая ›
- последняя »
