ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
35. Гиперболоиды 287
Рис. 163.
Если a = b, т.е.
x
2
+ y
2
a
2
−
z
2
c
2
= 1, (35.19)
то однополостный гиперболоид является гиперболоидом враще-
ния. Такой гиперболоид можно получить вращением гипербо-
лы
x
2
a
2
−
z
2
c
2
= 1,
вокруг оси Oz. В отличие от двуполостного гиперболоида, од-
нополостный имеет непустое пересечение с плоскостью z = 0.
Линией пересечения является эллипс
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1,
называемый горловым эллипсом однополостного гиперболоида.
Теорема 35.2. Плоским сечением однополостного гиперболоида может быть
содержательная линия 2-го порядка любого типа.
Доказательство. Сечениями однополостного гиперболоида плоскостями z =
±h являются эллипсы
x
2
[a
p
1 + (h/c)
2
]
2
+
y
2
[b
p
1 + (h/c)
2
]
2
= 1,
полуоси которых совпадают с полуосями горлово го эллипса при h = 0 и неогра-
ниченно возрастают с ростом h, имея тот же эксцентриситет, что и горловой
эллипс.
Сечениями однополостного гиперболоида плоскостями y = ±h являются при
|h| < b гиперболы
x
2
[a
p
1 −(h/b)
2
]
2
−
z
2
[c
p
1 −(h/b)
2
]
2
= 1,
мнимая полуось которых параллельна оси Oz, и при |h| > b гиперболы
z
2
[c
p
(h/b)
2
− 1]
2
−
x
2
[a
p
(h/b)
2
− 1]
2
= 1
действительная полуось ко торых параллельна оси Oz. П ри h = ±b обе гипер-
болы вырождаются в пересекающиеся прямые
x
a
+
z
c
= 0,
x
a
−
z
c
= 0.
Аналогичный вывод можно сдела ть для секущих плоскостей x = ±h.
Таким образом, мы показали, что плоскими сечениями однополостного ги-
перболоида мо гут являться кривые эллиптического и гиперболического т ипа, а
также линии 2-го порядка, распадающиеся на две пересекающиеся прямые.
Покажем теперь, что линиями плоского сечения могут быть параболы и
параллельные прямые. Например, что плоскость
cx − a(z − z
0
) = 0 (35.20)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 285
- 286
- 287
- 288
- 289
- …
- следующая ›
- последняя »
