ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
35. Гиперболоиды 285
Решение. При доказательстве т еоремы 35.1 мы показали, что искомая п лос-
кость описывается параметрическими уравнениями (35.4). Поскольку полуоси
двуполостного гиперболоида равны a = 3, b = 5, c = 4, то из (35.7) и (35.8)
найд¨ем
m
2
=
a
√
a
2
+ c
2
=
5
√
41
,
q
1 −m
2
2
=
c
√
a
2
+ c
2
=
4
√
41
.
Следовательно, параметрические уравнения плоскости π имеют вид
x =
5
√
41
t
2
,
y = t
1
, (35.11)
z = 4 +
4
√
41
t
2
.
В координатах t
1
, t
2
линией пересечения плоскости (35.11) с двуполостным ги-
перболоидом является, согласно (35.9), парабола
t
2
1
=
50
√
41
t
2
.
♦ Параметрическим уравнениям (35.11) соответствует общее уравнение 4x−
5z + 20 = 0.
Пример 35.2. Записать уравнение плоскости π, пересекающей двуполостной
гиперболоид
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= −1, b > a,
по окружности, проходящей через его вершину M
0
(0, 0, c). С его помощью вы-
писать уравнение линии пересечения этой плоскости и двуполостного гипербо-
лоида для случая a = 3, b = 5, c = 4 (см. предыдущий пример).
Реш ение. Как и в предыдущем примере, искомое уравнение плоскости запи-
шем в параметрическом виде (35.4):
x = m
2
t
2
,
y = t
1
, (35.12)
z = c +
q
1 − m
2
2
t
2
.
Подставив (35.12) в уравнения двуполостного гиперболоида, получим уравнение
линии пересечения в координатах t
1
и t
2
(35.5), т.е.
h
m
2
2
a
2
−
1 − m
2
2
c
2
i
t
2
2
+
1
b
2
t
2
1
− 2
p
1 −m
2
2
c
t
2
= 0. (35.13)
Это уравнение будет описывать окружность при условии
m
2
2
a
2
−
1 − m
2
2
c
2
=
1
b
2
.
Разрешив его от носительно m
2
, найд¨ем
m
2
=
a
b
r
c
2
+ b
2
a
2
+ c
2
(35.14)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 283
- 284
- 285
- 286
- 287
- …
- следующая ›
- последняя »
