ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
35. Гиперболоиды 283
Рис. 162.
При a = b уравнение двуполостного гиперболоида имеет вид
x
2
+ y
2
a
2
−
z
2
c
2
= −1.
Такой гиперболоид можно получить вращением гиперболы
x
2
a
2
−
z
2
c
2
= −1, y = 0 (35.2)
с действительной полуосью c вокруг оси Oz, поэтому его назы-
вают ещ¨е гиперболоидом вращения. Очевидно, что сечениями ги-
перболоида вращ ения плоскостью z = h > c являют ся окруж-
ности радиуса R =
p
(h/c)
2
−1, а сечением плоскостью y = 0 — гипербола
(35.2).
Структура плоских сечений произвольного двуполостного гиперболоида опре-
деляется следующей теоремой.
Теорема 35.1. Плоским сечением двуполостного гиперболоида может быть
содержательная нераспадающаяся линия 2 -го порядка любого типа.
Доказательство. Сечениями двуполостного гиперболоида плоскостями z = h,
h > c, являются эллипсы
x
2
[a
p
(h/c)
2
−1]
2
+
y
2
[b
p
(h/c)
2
− 1]
2
= 1,
полуоси которых равны нулю при h = c и неограниченно в озрастают с ростом
h. При h = c плоскость z = c является касательной с точкой касания M(0, 0, c).
Сечениями двуполостного гиперболоида плоскостями y = h являются ги-
перболы
z
2
[c
p
1 + (h/c)
2
]
2
−
x
2
[a
p
1 + (h/c)
2
]
2
= 1
с действительной полуосью c
p
1 + (h/c)
2
и мнимой a
p
1 + (h/c)
2
, длина кото-
рых возраста ет с ростом h. Аналогичный вывод можно сделать для секущих
плоскостей x = h. Таким образом, мы показали, что плоскими сечениями дву-
полостного гиперболоида являются кривые эллиптического и гиперболического
типов. Покажем теперь, что линией плоского сечения может быть и па рабола.
Рассмотрим плоскость π, проходящую через точку M
0
(0, 0, z
0
), направляю-
щими векторами которой служит пара ортонормированных векторов
~s
1
= (0, 1, 0), ~s
2
= (m
2
, 0,
q
1 − m
2
2
). (35.3)
В параметрической форме эта плоско сть зада¨ется уравнениями
π :
x = m
2
t
2
,
y = t
1
,
z = c +
p
1 − m
2
2
t
2
, z
0
= c.
(35.4)
В силу ортонормированности векторов ~s
1
, ~s
2
величины t
1
и t
2
в (35.4) можно
считать декартовыми координатами системы ко ординат t
1
M
0
t
2
на плоскости π.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 281
- 282
- 283
- 284
- 285
- …
- следующая ›
- последняя »
