ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
282 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
Таким об ра зом, уравнение секущей плоскости (34.11) имеет вид
x =
5
√
7
16
t
2
,
y = t
1
,
z =
9
16
t
2
.
(34.18)
Подставив (34.18) в уравнение эллипсоида (34.8), получим уравнение линии их
пересечения
(5
√
7/16)
2
t
2
2
25
+
t
2
1
16
+
(9/16)
2
t
2
2
9
= 1,
которое после преобразования примет вид
t
2
1
+ t
2
2
= 16,
что соответствует окружности с радиусом R = 4.
Вместо параметрических уравнений плоскости (34.18) можно во спользова ть-
ся общим уравнением. Вектор нормали к плоскости (34.18) определится соот-
ношением
~
N = ~s
1
×~s
2
=
~ı ~
~
k
0 1 0
5
√
5/16 0 9/16
=
9
16
~ı −
5
√
7
16
~
k.
Поскольку плоскость π проходит через точку O(0, 0, 0), е¨е общее уравнение мож-
но записать в виде
9x − 5
√
7z = 0.
35. Гиперболоиды
35.1. Двуполостный гиперболоид
Уравнение двуполостного гиперболоида (поверхность № 4 табл. 4 ) имеет вид
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= −1.
Положительные числа a, b, c называются полуосями двуполостного гиперболо-
ида. Выбором осей координат всегда можно добиться условия b > a. Посколь-
ку уравнение двуполостного гиперболоида не меняется при заменах x → −x,
y → −y, z → −z, то координатные плоскости x = y = z = 0 яв ляют ся плос-
костями симметрии, а начало координат — центром симметрии. Запишем
уравнение двуполостного гиперболоида в виде
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
z
2
c
2
−1. (35.1)
Нетрудно заметить, что это уравнение не имеет решений в области |z| < c, где
(z/c)
2
− 1 < 0. Это означает, что вся поверхность двуполостного гиперболоида
разбивается на две симметричных полости (отсюда и название), расположенных
в неограниченных областях |z| > c (рис. 162).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 280
- 281
- 282
- 283
- 284
- …
- следующая ›
- последняя »
