ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
280 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
Теперь воспользуемся тем, что линейно независимые тр¨ехмерные векторы ~s
1
и
~s
2
на плоскости π можно рассматривать как базис на этой плоскости, который
в совокупности с любой е¨е точкой M
0
образует репер (M
0
; ~s
1
, ~s
2
). Поскольку
базис ~s
1
, ~s
2
всегда можно в ыбрат ь ортонормированным, то параметры t
1
и t
2
можно рассматривать как декартовы коо рдинаты в этом репере.
Таким образом, подставив (34.2) в уравнение эллипсоида, получим уравне-
ние его плоского сечения в координатах t
1
, t
2
:
(x
0
+ m
1
t
1
+ m
2
t
2
)
2
a
2
+
(y
0
+ n
1
t
1
+ n
2
t
2
)
2
b
2
+
(z
0
+ p
1
t
1
+ p
2
t
2
)
2
c
2
= 1. (34.3)
Квадратичная часть этого уравнения имеет вид
m
2
1
a
2
+
n
2
1
b
2
+
p
2
1
c
2
t
2
1
+
m
1
m
2
a
2
+
n
1
n
2
b
2
+
p
1
p
2
c
2
t
1
t
2
+
m
2
2
a
2
+
n
2
2
b
2
+
p
2
2
c
2
t
2
2
. (34.4)
Если ввести вспомогательные векторы
~e
1
=
m
1
a
,
n
1
b
,
p
1
c
, ~e
2
=
m
2
a
,
n
2
b
,
p
2
c
, (34.5)
то с их помощью квадратичная часть (34.4) примет более простой вид:
|~e
1
|
2
t
2
1
+ 2(~e
1
, ~e
2
)t
1
t
2
+ |~e
2
|
2
t
2
2
,
которому соответствует матрица квадратичной формы
G =
|~e
1
|
2
(~e
1
, ~e
2
)
(~e
1
, ~e
2
) |~e
2
|
2
. (34.6)
Вычислим инвариант δ = det G уравнения на шего плоского сечения, представ-
ляющего линию 2-го порядка:
δ = det G = |~e
1
|
2
|~e
2
|
2
− (~e
1
, ~e
2
)
2
= |~e
1
|
2
|~e
2
|
2
sin
2
ϕ, (34.7)
где ϕ — угол между векторами ~e
1
и ~e
2
. Но векторы ~e
1
и ~e
2
линейно независимы,
поскольку их пропорциональность в силу (34.5) влекла бы про порциональность
перпендикулярных векторов ~s
1
и ~s
2
. Поэтому sin ϕ 6= 0 и, следовательно, δ >
0. Как известно, этому условию удовлетворяют кривые эллиптического типа.
Таким образом, никаких других линий в плоском сечении эллипсоида быть не
может.
♦ Поскольку окружность относится к кривым эллиптического типа, в се-
гда можно указать плоскость, линией пересечения которой с с эллипсоидом
является окружность. Для эллипсоида вращ ения таковой будет координатная
плоскость, перпендикулярная оси вращения. О казывается, и для произвольного
эллипсоида a > b > c можно указать плоско сть, дающую в сечении окружность.
Следующий пример показывает нам, как это сделать.
Пример 34.1. Для эллипсоида
x
2
25
+
y
2
16
+
z
2
9
= 1 (34.8)
записать уравнение плоскости, которая пересекает его по окружности.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 278
- 279
- 280
- 281
- 282
- …
- следующая ›
- последняя »
