ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
34. Эллипсоид 279
34. Эллипсоид
Согласно табл. 4, уравнение вещественного эллипсоида (поверхность № 1)
имеет вид
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= 1.
Положительные числа a, b, c называются полуосями
Рис. 161.
эллипсоида. Выбором системы координат можно до-
биться выполнения условий a > b > c. Эллипсо-
ид является ограниченной поверхностью, посколь-
ку расположен в прямоугольном параллелепипеде
|x| 6 a, |y| 6 b, |z| 6 c (рис. 161). Уравнение эл-
липсоида не меняется при заменах x → −x, y → −y, z → −z. Это означает, что
координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало коорди-
нат — центром симметрии.
При a = b уравнение эллипсоида имеет в ид
x
2
+ y
2
a
2
+
z
2
c
2
= 1.
Такой эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Его можно получить вра-
щением эллипса
x
2
a
2
+
z
2
c
2
= 1, y = 0
вокруг оси Oz, что будет показано в примере 39.6.
При a = b = c = R эллипсоид является сферой с радиусом R:
x
2
+ y
2
+ z
2
= R
2
.
Теорема 34.1. Любое плоское сечение эллипсоида является кривой эллипти-
ческого типа.
Доказательство очевидно, если секущей плоскостью является координатная
плоскость. Например, линией пересечения эллипсоида с плоскостью z = ±h
является эллипс
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
h
2
c
2
= 1
или
x
2
[a
p
1 − (h/c)
2
]
2
+
y
2
[b
p
1 −(h/c)
2
]
2
= 1. (34.1)
Полуоси эллипса (34.1) a
p
1 − (h/c)
2
и b
p
1 − (h/c)
2
являются максимальными
при h = 0 и обращаются в нуль при h = ±c. В последнем случае плоскость
z = c касается эллипсоида в точке (0, 0, c), т.е. линия пересечения вырождается
в точку. Аналогичные выводы можно сделать для секущих плоскостей x = ±h,
y = ±h.
Рассмотрим теперь произвольную плоскость π с направляющими вектора-
ми ~s
1
= (m
1
, n
1
, p
1
), ~s
2
= (m
2
, n
2
, p
2
), проходящую через точку M
0
(x
0
, y
0
, z
0
).
Воспользуемся параметрическими уравнениями этой плоскости:
π :
x = x
0
+ m
1
t
1
+ m
2
t
2
,
y = y
0
+ n
1
t
1
+ n
2
t
2
,
z = z
0
+ p
1
t
1
+ p
2
t
2
.
(34.2)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 277
- 278
- 279
- 280
- 281
- …
- следующая ›
- последняя »
