ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
33. Основная теорема о поверхности второго порядка 277
Решение. В примере 32.3 получена поверхность, описываемая урав нением (32.7 ),
т.е.
x
2
16
−
y
2
9
+
z
2
16
= −1. (32.16)
Для удобства запишем его в виде
x
2
+ z
2
16
=
y
2
9
− 1 (32.17)
и отметим, что поверхность обладает центральной симметрией о тносительно
начала координат, поскольку все три координатные плоскости x = y = z = 0
являются плоскостями симметрии. Далее, сечение поверхности вертикальной
плоскостью y = h (аналогично и для y = −h) есть кривая L
h
, проекция которой
на плоскость xOz определится уравнением
x
2
+ z
2
16
=
h
2
9
− 1. (32.18)
Рис. 160.
Уравнение (32.18) при |h| < 3 не имеет решений от-
носительно (x, z). Это означает, что соответствующее
сечение пусто, т.е. рассматриваемая поверхность це-
ликом расположена в полупространстве y > 3 (в си-
лу симметрии y 6 −3). При h > 3 уравнение (32.18)
определяет окружность
x
2
+ z
2
=
16
9
(h
2
−9) (32.19)
с радиусом
R =
4
3
√
h
2
−9, (32.20)
которая вырождается в точку x = z = 0 при h = 3. заметим, что с ростом h
радиус R, согласно (32.20), растет.
Полученной информации доста точно, чтобы построить эскиз поверхности
(см. рис. 160). Для дальнейшего уточнения ее формы рассмотрим ее сечение
координатно й плоскостью yOz, т.е. x = 0. Сечением поверхности (32.16) плос-
костью x = 0 является кривая, проекция которой на плоскость yOz описывается
уравнением
y
2
9
−
z
2
16
= 1, (32.21)
Это уравнение определяет гиперболу с действительной осью Oy и мнимой Oz,
с полуосями a = 3, b = 4.
Таким образом, исследуемая поверхность представляет собой след от окруж-
ностей (32.19), концы диаметров которых в плоскости x = 0 движутся по ги-
перболе (32.21). Такая поверхность называется двуполостным гиперболоидом,
а точнее — двуполостным гиперболоидом вращения.
33. Основная теорем а о поверхности второго порядка
Теорема 33.1. Для любой поверхности второго порядка существует прямо-
угольная сист ема координат Oxyz, в которой уравнение поверхности имеет
один из следующих 17 видов (см. табл. 4), называемых каноническими.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 275
- 276
- 277
- 278
- 279
- …
- следующая ›
- последняя »
