ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
32. Основные задачи на поверхность и кривую 275
откуда
y =
b
c
z, y = −
b
c
z.
5. Рассекая конус плоскостью z = h, в сечении получим эллипс:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
h
2
c
2
= 0,
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
h
2
c
2
,
x
2
(ah/c)
2
+
y
2
(bh/c)
2
= 1.
Аналогично исследуется форма эллипсоида
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= 1,
однополостного гиперболоида и т.д.
Пример 32.6. Исследовать форму кривой, заданной уравнениями
(x −1)
2
+ y
2
+ z
2
= 36,
y + z = 0.
(32.12)
Найти ее проекцию на плоскость xOy.
Решение. Кривая задана как линия пересечения сферы (см. пример 32.2) и
плоскости и, следовательно, может быть только окружностью. Так как центр
сферы C(1, 0, 0) лежит в плоскости y + z = 0, то центр окружности совпадает с
центром сферы, т.е. точкой C, и, следовательно, радиус окружности совпадает
с радиусом сферы, т.е. R = 6.
Выясним теперь, какой вид имеет проекция этой о кружности на плоскость
xOy. Исключив z из системы (32.12), получим (x − 1)
2
+ 2y
2
= 36 или
(x −1)
2
36
+
y
2
18
= 1, (32.13)
т.е. искомая проекция есть эллипс, главными осями которого я вляются оси Ox и
Oy, центр находится в точке C
′
(1, 0), а полуоси равны a = 6, b = 3
√
2 (для срав-
нения: линия пересечения плоскости xOy с заданной сферой есть окружность
(x − 1)
2
+ y
2
= 36).
Пример 32.7. Найти центр и радиус о кружности
x
2
+ y
2
+ z
2
= 10y,
x + 2y + 2z − 19 = 0.
Решение. Выделив полный квадрат в первом уравнении системы, преобразуем
ее к виду
x
2
+ (y − 5)
2
+ z
2
= 25,
x + 2y + 2z − 19 = 0.
(32.14)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 273
- 274
- 275
- 276
- 277
- …
- следующая ›
- последняя »
