ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
276 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
Система задает линию пересечения сферы радиусом R = 5, центр которой ле-
жит в точке C(0, 5, 0), и плоскости с вектором нормали
~
N = (1, 2, 2). Центр
сферы не принадлежит плоскости, в ч¨ем можно убедиться, подставив его коор-
динаты в уравнение плоскости. Поэтому координаты центра окружности следу-
ет искать как проекцию точки C на секущую плоскость. Решение этой задачи
хорошо известно (см. разд. «Уравнение перпендикуляра, опущенного из дан-
ной точки на данную прямую»). Составим параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку C(0, 5, 0) в направлении вектора
~
N = (1, 2, 2):
x = t, y = 5 + 2t, z = 2t. (32.15)
Теперь найд¨ем точку пересечения прямой (32.15) с секущей плоскостью. Для
этого подставим равенства (32.15) в уравнение плоскости:
t + 2(5 + 2t) + 4t − 19 = 0
и найд¨ем значение t = 1, соответствующее точке пересечения прямой и плос-
кости. Подставив t = 1 в (32.1 5), найд¨ем координаты x = 1, y = 7, z = 2
проекции центра сферы на секущую плоскость. Та ким об ра зом, координаты
центра окружности C
′
(1, 7, 2). Вычислим теперь расстояние d между центром
сферы и центром окружности: d =
√
1 + 4 + 4 = 3. Тогда радиус окружности r
можно найти по теореме Пифагора: r =
√
R
2
−d
2
=
√
25 − 9 = 4.
Таким образом, линией пересечения заданных сферы и плоскости является
окружность с центром в то чке C
′
(1, 7, 2) и радиусом r = 4.
Пример 32.8. Определить координаты центра и радиус шаровой поверхности
x
2
− 2x + y
2
− 4y + z
2
− 11 = 0
и сделать построение.
Решение. Чтобы решить эту задачу, следует заданное уравнение шаровой по-
верхности привести к каноническому виду (32.2 ) , выделив полные квадраты.
Получим
(x
2
− 2x + 1) + (y
2
−4y + 4) + (z − 0)
2
= 11 + 1 + 4,
т.е.
(x − 1)
2
+ (y −2)
2
+ (z − 0)
2
= r
2
,
где координаты центра O(1, 2, 0), a = 1, b = 2, c = 0, R = 4.
Рис. 159.
Из рассмотренных выше примеров видно, что
нахождение сечения поверхности произвольной
плоскостью — задача, вообще говоря, достат очно
громоздкая. Она упрощается, если в качестве се-
кущих плоскостей использовать координатные. В
этом случае найти линии пересечения достаточно
просто, а, кроме того, их совокупность дает пред-
ставление о самой по верхности (рис. 159).
Такой метод называется методом сечений и
широко используется не только в аналитической
геометрии, но и в других разделах математики и
их приложениях.
Пример 32.9. Методом сечений исследовать и построить поверхность, полу-
ченную в примере 3 2.3.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 274
- 275
- 276
- 277
- 278
- …
- следующая ›
- последняя »
