ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
284 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
Подставив (35.4) в уравнение двуполостного гиперболоида, получим урав-
нение линии пересечения в координатах t
1
, t
2
:
m
2
2
a
2
t
2
2
+
1
b
2
t
2
1
−
(c +
p
1 −m
2
2
t
2
)
2
c
2
= −1,
которое после упрощения можно записать как
h
m
2
2
a
2
−
1 − m
2
2
c
2
i
t
2
2
+
1
b
2
t
2
1
− 2
p
1 −m
2
2
c
t
2
= 0. (35.5)
Уравнение (35.5) будет определять кривую параболического типа, если выпол-
няется условие
m
2
2
a
2
−
1 − m
2
2
c
2
= 0. (35.6)
Разрешив (35.6 ) относительно m
2
, найд¨ем
m
2
=
a
√
a
2
+ c
2
(35.7)
и, соответственно,
q
1 −m
2
2
=
c
√
a
2
+ c
2
. (35.8)
С уч¨етом этого уравнение (35.5) примет вид
1
b
2
t
2
1
− 2
1
√
a
2
+ c
2
t
2
= 0
или
t
2
1
= 2
b
2
√
a
2
+ c
2
t
2
. (35.9)
Это и есть каноническое уравнение параболы с фокальным параметром
p =
b
2
√
a
2
+ c
2
. (35.10)
Теперь мы должны показать, что плоские сечения двуполостного гипербо-
лоида не могут быть распадающимися кривыми. Поскольку содержательная
распадающаяся кривая представляет собой совокупность прямых, то нужно по-
казать, что поверхность дв уполостного гиперболоида не имеет прямолинейных
образующих. В связи с этим заметим, что что все пространственные прямые
можно разделить на прямые, пересекающие плоско сть z = 0 , и прямые, па-
раллельные этой плоскости. Прямые, пересекающие плоскость z = 0, не могут
быть прямолинейными образующими, поскольку эта плоскость не пересекается
с двуполостным гиперболоидом.
Остальные прямые лежат в плоскостях z = h, прич¨ем при |h| < c плоскость
и двуполостный гиперболоид не пересекаются; при |h| = c плоскость касается
гиперболоида; при |h| > c сечения являются эллипсами.
Пример 35.1. Записать уравнение плоскости π, пересекающей двуполостной
гиперболоид
x
2
9
+
y
2
25
−
z
2
16
= −1
по параболе.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 282
- 283
- 284
- 285
- 286
- …
- следующая ›
- последняя »
