ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
294 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
37. Параболоиды
37.1. Эллиптический параболоид
Согласно табл. 4, уравнение эллиптического параболоида (поверхность № 7)
имеет вид
x
2
p
+
y
2
q
= 2z.
Выбором координатных осей можно добиться выполнения условия p > q > 0.
Если p = q, т.е.
x
2
+ y
2
= 2pz,
то та кой параболоид называется параболоидом вращения. Его можно получить
вращением параболы
x
2
= 2pz, y = 0,
вокруг оси Oz.
Линией пересечения эллиптического парабо ло ида и плоскости y = 0 я вля-
ется парабола
x
2
= 2pz, y = 0, (37.1)
а плоскость x = h пересекает его по параболам
y
2
= 2qz −
qh
2
p
, x = h. (37.2)
Отсюда вытекает простое правило геометрического построения эллиптического
параболоида.
Эллиптический параболоид получается параллельным перемещением по-
движной параболы (37.2), когда е¨е вершина движется по неподвижной пара-
боле (37.1). При этом параболы находятся в перпендикулярных плоскостях, а
их оси параллельны и направлены в одну сторону (рис. 164).
Если фокальные параметры этих парабол выбрать рав-
Рис. 164.
ными, то мы получим параболоид вращения.
Из уравнения эллиптического параболоида следует, что
его поверхность расположена в области z > 0 ка но ниче-
ской системы координат. Как и в случае двуполостного
гиперболоида, можно показать, что прямолинейные обра-
зующие у эллиптического параболоида отсутствуют.
Эллиптический параболоид не имеет центра симмет-
рии, поскольку для него плоскостями симметрии являют-
ся только две координатные плоскости: x = 0 и y = 0. В
свою очередь, из тр¨ех координатных осей только ось Oz является осью симмет -
рии, называемой ещ¨е осью эллиптического параболоида.
Секущую плоскость, параллельную оси эллиптического параболо ида, будем
называть вертикальной.
Теорема 37.1. Любое вертикальное плоское сечение эллиптического парабо-
лоида является параболой, все остальные его плоские сечения являются эл-
липсами.
Доказательство. Как известно, произвольная вертикальная плоскость π опи-
сывается общим уравнением
A(x − x
0
) + B(y − y
0
) = 0. (37.3)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 292
- 293
- 294
- 295
- 296
- …
- следующая ›
- последняя »
