ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
296 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
Выбором координатных осей можно добиться выполнения условия p > q > 0.
Эту поверхность не является поверхностью вращения ни при каких соотноше-
ниях между параметрами p и q.
Плоскость y = 0 пересекает гиперболический параболоид по параболе
x
2
= 2pz, y = 0, (37.10)
а плоскость x = h пересекает его по параболам
y
2
= −2q
z −
h
2
2p
. (37.11)
Но оси этих парабол направлены противоположно осям парабол (37.2).
Отсюда следует, что гиперболический параболоид,
Рис. 165.
как и эллиптический, может быть получен параллель-
ным перемещением одной подвижной параболы (37.11),
когда е¨е вершина скользит по неподвижной параболе
(37.10). При этом параболы находятся в перпендикуляр-
ных плоскостях, а их оси параллельны и направлены в
разные стороны (рис. 165).
Гиперболический параболоид не имеет центра сим-
метрии, поскольку для него плоскостями симметрии я в-
ляются только две координатные плоскости: x = 0 и
y = 0 . Ось Oz, будучи линией их пересечения, является осью симметрии и
называется вертикальной осью гиперболического параболоида.
Теорема 37.2. Любое вертикальное плоское сечение гиперболического пара-
болоида является параболой или прямой, все остальные его плоские сечения
являются гиперболами, которые могут вырождаться в пару пересекающихся
прямых.
Доказательство. Произвольная вертикальная плоскость π, как известно, опи-
сывается общим уравнением
A(x − x
0
) + B(y − y
0
) = 0. (37.12)
Не уменьшая о бщности, будем предполагать, что A
2
+ B
2
= 1. Эта плоскость
проходит через точку M
0
(x
0
, y
0
, 0), имеет единичный вектор нормали
~
N = (A, B, 0),
которо му соответствует ортонормированная пара направляющих в екторов ~s
1
=
(0, 0, 1) и ~s
2
= (−B, A, 0). Записав уравнения вертикальной плоскости π (37.12)
в параметрической форме:
x = x
0
− Bt
1
,
y = y
0
+ At
1
,
z = t
2
(37.13)
и подставив их в уравнения гиперболического параболоида, п олучим уравнение
плоского вертикального сечения гиперболического параболоида в прямоуголь-
ных координатах t
1
M
0
t
2
на плоскости π:
(x
0
− Bt
1
)
2
p
+
(y
0
+ At
1
)
2
q
= 2t
2
или в разв¨ернутом виде:
(qB
2
− pA
2
)t
2
1
− 2(x
0
Bq + y
0
Ap)t
1
+ (x
2
0
− y
2
0
) = 2t
2
pq. (37.14)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 294
- 295
- 296
- 297
- 298
- …
- следующая ›
- последняя »
