ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
298 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
вырождается в пару пересекающихся прямых
t
1
+ Ap
√
p
±
t
2
−Bq
√
q
= 0, (37.23)
что и требовалось доказать.
Таким образом, гиперболический параболоид является наряду с однополост-
ным гиперболоидом и конусом ещ¨е одной поверхностью, содержащей прямоли-
нейные образующие. Более подробно этот вопрос мы рассмотрим ниже в разд.
«Линейчатые поверхности».
38. Цилиндры второго порядка
Девять последних уравнений табл. 4 описывают поверхности, называемые
цилиндрами вт орого порядка. Все эти уравнения не содержат переменную z и
могут быть объединены одним уравнением
F (x, y) = 0, (38.1)
где F (x, y) определяет все канонические формы кривой 2-го порядка, привед¨ен-
ные в та бл. 1. О тсюда следует простое правило построения цилиндрической
поверхности второго порядка.
Из каждой точки содержательной кривой 2-го порядка на плоскости z = 0
проводится прямая, параллельная оси Oz. Множество этих прямых и образует
цилиндрическую поверхность.
Другими словами, цилиндрическую поверхность 2-го порядка можно полу-
чить движением прямой, параллельной оси Oz и называемой образующей, по
содержательной кривой 2-го порядка (38.1), расположенной в плоскости z = 0
и называемой направляющей цилиндра.
Рис. 166.
Поэтому вид и название всех по верхностей цилиндров определяется характе-
ром этой кривой 2-го порядка. На рис. 166 показаны основные виды цилиндров
2-го порядка: эллиптический, гиперболический и параболический.
От сечения z = 0 перейд¨ем к произвольным сечениям. Их характер опреде-
ляется следующей теоремой.
Теорема 38.1. Всякое невертикальное плоское сечение цилиндра (38.1) явля-
ется линией второго порядка, имеющей то же название, что и его направ-
ляющая. Произвольная вертикальная плоскость либо не пересекает цилиндр,
либо целиком в н¨ем содержится, либо пересекает его по паре параллельных
прямых, различных или совпадающих.
Доказательство. Всякая невертикальная плоскость, как мы знаем, может быть
задана параметрическими уравнениями
x = t
1
, y = t
2
, z = z
0
−At
1
− Bt
2
. (38.2)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 296
- 297
- 298
- 299
- 300
- …
- следующая ›
- последняя »
