ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
300 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
Укажем метод нахождения уравнения цилиндрической поверхности с осью,
ко ллинеарной заданному вектору ~s = (m, n, p), и направляющей γ, заданной
уравнениями
F
1
(x, y, z) = 0, F
2
(x, y, z) = 0. (39.3)
Согласно определению, точка M(x, y, z) принадлежит цилиндру C только
в том случае, если существует такое t, что точка M
t
с координатами M
t
(x +
tm, t + tn, z + tp) лежит на направляющей L, т.е.
F
1
(x + tm, t + tn, z + tp) = 0,
F
2
(x + tm, t + tn, z + tp) = 0.
(39.4)
Исключив параметр t из системы (39.4), получим соотношение вида F (x, y, z) =
0, которое и является уравнением заданного цилиндра C.
♦ Если вектор ~s совпадает с одним из координатных ортов, например ~s =
~
k (т.е. ~s = (0, 0, 1) — ось цилиндра совпадает с осью Oz), то система (3 9.4)
упрощается к виду
F
1
(x, y, z + t) = 0,
F
2
(x, y, z + t) = 0.
(39.5)
Цилиндрическая поверхность, направляющей которой является аналити-
ческая кривая k-го порядка, называется цилиндрической п оверхностью или ци-
линдром k-го порядка.
Пример 39.1. Составить уравнение цилиндра, ось которого коллинеарна век-
тору ~s = (1, 2, 3), а направляющая задана уравнениями
a) y = x
3
, z = 0; б) y = x
2
, z = 0; в) y = 4x, z = 0.
Построить полученные поверхности.
Решение. С уч¨етом явного вида вектора ~s = (1, 2, 3) уравнение цилиндрической
поверхности можно найти из системы (39.4), которая для случая а) будет иметь
вид
(x + t)
3
− (y + 2t) = 0,
z + 3t = 0.
Выразив из второго уравнения t = −z/3 и подставив его в первое, получим
x −
z
3
3
−
y −
2z
3
= 0.
После простейших преобразований имеем искомое уравнение цилиндрической
поверхности (рис. 167 , a)
(3x − z)
3
− 27y + 18z = 0.
Аналогичным образом, исключив в случае б ) параметр t из системы
(x + t)
2
− (y + 2t) = 0,
z + 3t = 0,
найд¨ем уравнение цилиндрической поверхности (рис. 167,б)
(3x − z)
2
− 9y + 6z = 0.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 298
- 299
- 300
- 301
- 302
- …
- следующая ›
- последняя »
