ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
302 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
Рис. 168.
Пример 39.3. Найти уравнение цилиндра, направляющ ей которого является
окружность, рассмотренная в примере 32.7, а образующей — ос ь Oz.
Решение. В примере 32.7 было показано, что линией пересечения сферы
x
2
+ (y − 5)
2
+ z
2
= 25 (39.7)
и плоскости
x + 2y + 2z − 19 = 0 (39.8)
является окружность радиусом r = 4 с центром в точке C
′
(1, 7, 2), расположен-
ная в этой плоскости.
Согласно условию задачи, требуется найти цилиндр, направляющ ая кото-
рого задана уравнениями (39.7), (39.8), а ось совпадает с осью Oz. Последнее
означает, что вектор ~s =
~
k имеет координаты ~s = (0 , 0, 1). С уч¨етом этого пара-
метрическая система ( 39.4) будет иметь вид
x
2
+ (y − 5)
2
+ (z + t)
2
= 25,
x + 2y + 2(z + t) − 19 = 0.
Исключив параметр t, получим искомое уравнение
5x
2
+ 8y
2
+ 4xy − 38x −116y + 361 = 0, (39.9)
из кот орого следует, что проекцией окружности (39.7), (39.8) на плоскость xOy
является эллипс (39.9). Можно проверить, что его центр C
′′
(1, 7) совпадает с
проекцией точки C
′
(1, 7, 2) на плоскость xOy.
Пример 39.4. Сфера x
2
+ y
2
+ z
2
= 4z освещена лучами, параллельными пря-
мой x = 0, y = z. Найти форму тени сферы на плоскости xOy.
Решение. Выделим в уравнении сферы полный кв адрат по переменной z:
x
2
+ y
2
+ (z − 2)
2
= 4. (39.10)
Отсюда следует, что радиус сферы R = 2, а е¨е центр расположен в точке
C(0, 0, 2) (рис. 169). Из условия задачи следует, что лучи света параллельны
прямой с направляющим вектором ~s = (0, 1, 1), поэтому уравнение плоскости,
проходящей через центр сферы перпендикулярно вектору ~s = (0, 1, 1), имеет
вид
y + z − 2 = 0. (39.11)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 300
- 301
- 302
- 303
- 304
- …
- следующая ›
- последняя »
