ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
304 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
Рис. 170.
M
0
(x
0
, z
0
) (рис. 170,a ). При вращении точки M
0
в плоскости z = z
0
она опи-
шет окружность с центром в точке C(0, 0, z
0
) и радиусом R = x
0
. Поскольку
F (x
0
, z
0
) = 0, то в силу равенств z
0
= z и x
0
=
p
x
2
+ y
2
для произвольной
точки M(x, y, z) этой окружности найд¨ем
F (
p
x
2
+ y
2
, z) = 0. (39.14)
Уравнение (39.14) и есть искомо е уравнение поверхности вращения кривой (39.13)
вокруг оси Oz.
♦ Отметим, что в плоскости y = 0 лежит ещ е одна координатная ось — ось
Ox, поэтому вращение кривой (39.13) теперь уже вокруг оси Ox дает поверх-
ность вращения, о писываемую уравнением (рис. 170,б)
F (x,
p
y
2
+ z
2
) = 0. (39.15)
Уравнение поверхности вращения (39.14) допускает очевидную параметри-
зацию
x = f(ψ) cos ϕ, y = f(ψ) sin ϕ, z = ψ, (39.16)
где ϕ, ψ — два независимых параметра. Этим параметрам можно придать гео-
метрический смысл, если ввести следующие определения.
Линии пересечения поверхности вращения с плоскостями, проходящими
через ее ось, называются меридианами, а с плоскостями, перпендикулярными
ее оси, — параллелями.
Тогда функция f(ψ) в параметрических уравнениях (39.16) определяет фор-
му меридиана, а параметр ϕ — угол поворота плоскости меридиана о тноси-
тельно плоскости y = 0, при этом соотношение ψ = const зада¨ет плоскость и
лежащую в ней параллель.
♦ Параметрические уравнения по верхности вращения (39.15) имеют вид
x = ψ, y = f(ψ) sin ϕ, z = f(ψ) cos ϕ. (39.17)
Если кривая вращения F (x, z) = 0 яв ляется кривой второго порядка, то
уравнение е¨е поверхности вращения в общем случае можно записать как
A(x
2
+ y
2
) + Bz
2
+ Cz + D = 0. (39.18)
Пример 39.5. Составить уравнение поверхности, образованной вращением пря-
мой
a) x = a, y = 0; б) x = z, y = 0
вокруг осей Oz и Ox. Записать уравнения в параметрической форме и постро-
ить поверхности.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 302
- 303
- 304
- 305
- 306
- …
- следующая ›
- последняя »
