ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
39. Поверхности цилиндрические, конические и вращения 303
Рис. 169.
Сечение сферы (3 9.10) плоскостью (39.11) да¨ет
окружность, которую следует считать направляю-
щей для цилиндра с осью, параллельной вектору ~s.
Пересечение именно этого цилиндра с плоскостью
z = 0 и будет определять форму тени от окруж-
ности, а значит, и от сферы, на плоскости xOy.
Чтобы найти уравнение цилиндра, составим па-
раметрическую систему (39.4) для кривой (39.10),
(39.11):
x
2
+ (y + t)
2
+ (z + t − 2)
2
= 4,
(y + t) + (z + t) − 2 = 0.
Выразив из второго уравнения параметр
t =
1
2
(2 − y − z)
и подставив его в первое, получим уравнение цилиндра
2x
2
+ (y − z + 2)
2
= 8. (39.12)
Пересечение цилиндра (39.12) с плоскостью z = 0 да¨ет кривую второго порядка
x
2
4
+
(y + 2 )
2
8
= 1,
представляющую собой эллипс, центр которого расположен в точке C
′
(0, −2),
малая полуось совпадает с радиусом окружности R = 2, а больша я полуось
b = 2
√
2 > R (см. рис. 1 69).
Рассмотрим теперь поверхности, полученные в результа те вращения геомет-
рических кривых.
39.2. Поверхности вращения
Поверхностью вращения называется по верхность, инвариантная относи-
тельно пово ротов на любой угол вокруг некоторой фиксированной оси, назы-
ваемой осью вращения.
Такую поверхность можно получить вращением вокруг оси заданной кри-
вой, лежащей в плоскости, проходящей через ось вращения. Простейшими при-
мерами поверхностей вращения являются сфера, которую можно получить вра-
щением окружности (или полуокружности) вокруг любого ее диаметра; круг-
лый цилиндр, получаемый вращением прямоугольника вокруг одной из его сто-
рон; прямой круговой конус, получаемый вращением прямоугольного треуголь-
ника вокруг одного из катетов и т.д.
При рассмотрении поверхностей вращения систему коо рдинат удобно выби-
рать так, что бы ось вращения совпадала с одной из координатных осей. Пусть,
например, ось вращения совпадает с осью Oz, а уравнение плоской кривой, об-
разующей поверхность вращения, в плоскости y = 0, проходящей через ось Oz,
задается в виде
F (x, z) = 0. (39.13)
Покажем, как из уравнения плоской кривой (39.13) можно получить уравне-
ние поверхности вращения относительно оси Oz. Пуст ь точка M(x, z) — произ-
вольная точка кривой вращения, которая в плоскости z = z
0
имеет координаты
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 301
- 302
- 303
- 304
- 305
- …
- следующая ›
- последняя »
