Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 312 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

312 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
которое после приведения подобных примет вид
16x
2
+ 16z
2
−9(x −5)
2
= 0. (39.40)
Уравнение (3 9.40) — уравнение проектирующего конуса. Форму тени сферы на
плоскости yOz можно найти из (3 9.40), положив x = 0:
x
2
+ z
2
=
15
4
2
.
Пример 39.12. Показать, что три направляющие
L
1
— эллипс:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1, z = c; (39.41)
L
2
— гипербола:
z
2
c
2
−
x
2
a
2
= 1, y = b; (39.42)
L
3
— парабола: x
2
+
4a
2
b
(y − b) = 0,
y
b
+
z
c
−2 = 0, (39.43)
пересекающиеся в одной точке S(O, b, c), определяют один и тот же конус с
вершиной в начале координат.
Решение. Для эллипса, согласно (39.33), имеем
c
z
x
a
2
+
c
z
y
b
2
= 1,
откуда найд¨ем уравнение конуса
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= 0. (39.44)
Аналогично для гиперболы имеем
b
y
z
c
2
−
b
y
x
a
2
= 1,
и, следовательно, уравнение конуса
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= 0. (39.45)
Для параболы воспользуемся системой (39.30):
(x + xt) +
4a
2
b
(y − b + ty) = 0,
y + yt
b
+
z + zt
c
− 2 = 0 .
Выразив из второго уравнения
t =
2
y/b + z/c
− 1

Страницы